歐拉定理（Euler's Theorem）係數論入面嘅一條定理，由數學家歐拉證明。
主要討論係 x m ≡ 1 mod n {\displaystyle x^{m}\equiv 1\mod n} 呢條式。
歐拉定理嘅基數同群入面嘅基數定義相似。
設 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 同埋 x ∈ Z {\displaystyle x\in \mathbb {Z} } 。
如果 gcd ( x , n ) = 1 {\displaystyle \gcd(x,n)=1} ， x mod n {\displaystyle x\mod n} 嘅基數（Order）係最細嘅整數 m {\displaystyle m} 符合 x m ≡ 1 mod n {\displaystyle x^{m}\equiv 1\mod n} 。
如果 x i ≡ x j mod n {\displaystyle x^{i}\equiv x^{j}\mod n} ，咁 x i − j ≡ 1 mod n {\displaystyle x^{i-j}\equiv 1\mod n} 。
對應任何一個自然數 x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } ， φ ( x ) := # { x ∈ Z : a ≤ n and gcd ( a , n ) = 1 } {\displaystyle \varphi (x):=\#\{x\in \mathbb {Z} :a\leq n{\text{ and }}\gcd(a,n)=1\}} 佢嘅意思係，揀一個數 x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } ，數下有幾多數係細過 x {\displaystyle x} 又同時唔係 x {\displaystyle x} 嘅因數。
例子：
φ ( 5 ) = # { 1 , 2 , 3 , 4 } = 4 {\displaystyle \varphi (5)=\#\{1,2,3,4\}=4}
φ ( 6 ) = # { 1 , 5 } = 2 {\displaystyle \varphi (6)=\#\{1,5\}=2}
φ ( 12 ) = # { 1 , 5 , 7 , 11 } = 4 {\displaystyle \varphi (12)=\#\{1,5,7,11\}=4}
對應任何質數 p {\displaystyle p} ， φ ( p − 1 ) = # { 1 , 2 , ⋯ , p − 1 } = p − 1 {\displaystyle \varphi (p-1)=\#\{1,2,\cdots ,p-1\}=p-1} 。
如果 gcd ( x , n ) = 1 {\displaystyle \gcd(x,n)=1} ，咁 x φ ( n ) ≡ 1 mod n {\displaystyle x^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n} 。
呢條式。
同埋
。
，
嘅基數（Order）係最細嘅整數
符合。
，咁
。
函數
，
佢嘅意思係，揀一個數，數下有幾多數係細過
又同時唔係嘅因數。
，
。
，咁
。
