循環群基本定理

循環群基本定理（Fundamental Theorem of Cyclic Groups）係要講有幾多有限循環群同點搵佢哋。

如果$G=\langle a\rangle$同$G$嘅基數$30$。呢條定理就會講出，如果$H$係$G$嘅子群，咁$H$係$\langle a^{30/k}\rangle$咁樣，對應一啲$k$，同時佢係$30$嘅因數。最後一部份講，$G$有幾個子群，佢哋嘅基數係$1,2,3,5,6,10,15,30$。

定理

1. 子群要求（Every subgroup of cyclic group is cyclic）；
2. 如果$|\langle a\rangle |=n$，咁$\langle a\rangle$嘅子群嘅基數係$n$嘅因數；
3. 對應每一個$n$嘅正因數$k$，$\langle a\rangle$就一定會得一個子群，佢嘅基數係$k$，即係$\langle a^{\frac {n}{k}}\rangle$。

證明：

1. 睇循環群嘅子群要求。
2. 如果$|\langle a\rangle |=n$同埋$H$係$\langle a\rangle$嘅子群。用(1)，得知$H=\langle a^{m}\rangle$，$m\in \mathbb {Z}$係最細正整數令到$a^{m}\in H$成立。利用(1)嘅證明，$e=b=a^{m}$，可以得出$n=mq$。
3. 設$k$任何一個$n$嘅因數。（想證明$\langle a^{\frac {n}{k}}\rangle$就係唯一一個$\langle a\rangle$連基數$k$）利用最大公因數定理，$|\langle a^{\frac {n}{k}}\rangle |={\frac {n}{\gcd(n,{\frac {n}{k}})}}={\frac {n}{\frac {n}{k}}}=k$。設$H$係$\langle a\rangle$嘅子群。利用(2)，$H=\langle a^{m}\rangle$，$m$係$n$嘅因數。咁$m=\gcd(m,n)$同埋$k=|a^{m}|=|a^{\gcd(n,m)}|={\frac {n}{\gcd(n,m)}}={\frac {n}{m}}$。所以，$m={\frac {n}{k}},H=\langle a^{\frac {n}{k}}\rangle$。

例子

如果$G=\langle a\rangle$同$G$嘅基數$30$。佢哋嘅子群就係：

${\begin{aligned}\langle a\rangle &=\{e,a,a^{2},\cdots ,e^{29}\}&\quad {\text{order }}30\\\langle a^{2}\rangle &=\{e,a^{2},a^{4},\cdots ,a^{28}\}&\quad {\text{order }}15\\\langle a^{3}\rangle &=\{e,a^{3},a^{6},\cdots ,a^{27}\}&\quad {\text{order }}10\\\langle a^{5}\rangle &=\{e,a^{5},a^{10},\cdots ,a^{25}\}&\quad {\text{order }}6\\\langle a^{6}\rangle &=\{e,a^{6},a^{12},a^{18},a^{24}\}&\quad {\text{order }}5\\\langle a^{10}\rangle &=\{e,a^{10},a^{20}\}&\quad {\text{order }}3\\\langle a^{15}\rangle &=\{e,a^{15}\}&\quad {\text{order }}2\\\langle a^{30}\rangle &=\{e\}&\quad {\text{order }}1\\\end{aligned}}$

推理

如果將個群設做$\mathbb {Z} _{n}$，$a=1$。就可以得出以下。

所有$n$嘅正因數$k$，$\langle {\frac {n}{k}}\rangle$呢個集係$\mathbb {Z} _{n}$唯一一個有基數$k$嘅子群。亦都係$\mathbb {Z} _{n}$入面嘅所有子群。

指定基數元素數量

如果$d$係$n$嘅正因數，咁喺一個基數係$n$嘅循環群入面基數係$d$嘅嘢有$\varphi (d)$咁多粒。（$\varphi (d)$係歐拉函數）

證明：

利用基本定理(3)，只會得一個子群係基數$d$。

設$|\langle a\rangle |=d$。

咁每粒基數係$d$嘅嘢就會整$\langle a\rangle$出嚟。

利用最大公因數定理入面嘅推理四，如果$a^{k}$整$\langle a\rangle \iff \gcd(n,d)=1$。

所以就係$\varphi (d)$咁多粒。

睇埋

• 群
• 子群
• 有限群
• 循環群
• 執位