循環群基本定理

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循環群基本定理(Fundamental Theorem of Cyclic Groups)係要講有幾多有限循環群同點搵佢哋。

如果嘅基數。呢條定理就會講出,如果嘅子群,咁咁樣,對應一啲,同時佢係因數。最後一部份講,有幾個子群,佢哋嘅基數係

定理[編輯]

  1. 子群要求(Every subgroup of cyclic group is cyclic);
  2. 如果,咁嘅子群嘅基數係嘅因數;
  3. 對應每一個嘅正因數就一定會得一個子群,佢嘅基數係,即係

證明:

  1. 循環群嘅子群要求。
  2. 如果同埋子群。用(1),得知係最細正整數令到成立。利用(1)嘅證明,,可以得出
  3. 任何一個因數。(想證明就係唯一一個連基數)利用最大公因數定理。設嘅子群。利用(2),嘅因數。咁同埋。所以,

例子[編輯]

如果嘅基數。佢哋嘅子群就係:

推理[編輯]

如果將個群設做。就可以得出以下。

所有嘅正因數呢個集係唯一一個有基數子群。亦都係入面嘅所有子群。

指定基數元素數量[編輯]

如果嘅正因數,咁喺一個基數係循環群入面基數係嘅嘢有咁多粒。(歐拉函數

證明:

利用基本定理(3),只會得一個子群係基數

咁每粒基數係嘅嘢就會整出嚟。

利用最大公因數定理入面嘅推理四,如果

所以就係咁多粒。

睇埋[編輯]