環倍數

環倍數（Ideal）係環論入面嘅一個概念。一個環裏便佢係特指個環阿標羣嘅子羣，即裏便包有一啲元素同埋繼承有個環加法嘅，而且啲元素所有倍數都仲要喺個羣裏便，啲倍數係攞原有環啲元素乘埋上啲揀出嘅元素得到。呢個乘可以由右手便乘埋（右乘），亦都可以由左手便乘埋（左乘）；兩便都得嘅話就得睇成係雙邊嘅。個概念又叫「理想」，出自英文個名，佢又出自「理想數」個概念。

定義

設${\textbf {I}}$係${\textbf {R}}$嘅一個加法子環，咁對應任何${\textbf {R}}$入面嘅$a,b\in {\textbf {R}}$，$a{\textbf {I}}\subset {\textbf {I}}$同${\textbf {I}}b\subset {\textbf {I}}$成立嘅話${\textbf {I}}$就係${\textbf {R}}$嘅環倍數。

如果唔用上面嘅定義，${\textbf {I}}$就係定一個$x\in {\textbf {R}}$，${\textbf {I}}:=\{ax:a\in {\textbf {R}}\}$，而${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$。

或者：

• $({\textbf {I}},+)$係一個加法子環$({\textbf {R}},+)$
• $\forall a\in {\textbf {R}},\forall x\in {\textbf {I}},a\times x,x\times a\in {\textbf {I}}$

簡單嚟講就係所有$x$係${\textbf {R}}$入面嘅倍數。同埋${\textbf {I}}$係${\textbf {R}}$嘅子環。

性質

性質一

${\textbf {I}}$係一個子環。

性質二

對應任何一個環同位轉換$\phi :{\textbf {R}}\to {\textbf {R'}}$，$\phi$嘅核心（$\ker \phi$）係一個環倍數。

性質三

設${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$係一個加法子群。咁群乘法$(a+{\textbf {I}})(b+{\textbf {I}})=(ab)+{\textbf {I}}$係完美定義$\iff$${\textbf {I}}$係一個環倍數。

性質四

設${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$係一個環倍數。咁${\textbf {I}}$嘅左群倍數會變成一個環，叫做${\textbf {R}}$除${\textbf {I}}$嘅同餘環，會寫做${\textbf {R}}/{\textbf {I}}$，佢嘅運算係$(a+{\textbf {I}})(b+{\textbf {I}})=(a+b)+{\textbf {I}}$同埋$(a+{\textbf {I}})(b+{\textbf {I}})=(ab)+{\textbf {I}}$。

性質五

設${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$係一個環倍數。咁轉換$\pi :{\textbf {R}}\to {\textbf {R}}/{\textbf {I}}$係定義為$\pi (a)=a+{\textbf {I}}$係一個滿射，同時$\ker \pi ={\textbf {I}}$，咁呢個就係叫做傳統轉換。

睇埋

• 單點環倍數
• 最大環倍數
• 環質數
• 質數分解域
• 歐幾理德環