環倍數

環倍數（Ideal）係環論入面嘅一個概念。一個環裏便佢係特指個環阿標羣嘅子羣，即裏便包有一啲元素同埋繼承有個環加法嘅，而且啲元素所有倍數都仲要喺個羣裏便，啲倍數係攞原有環啲元素乘埋上啲揀出嘅元素得到。呢個乘可以由右手便乘埋（右乘），亦都可以由左手便乘埋（左乘）；兩便都得嘅話就得睇成係雙邊嘅。個概念又叫「理想」，出自英文個名，佢又出自「理想數」個概念。

定義

設 ${\textbf {I}}$ 係 ${\textbf {R}}$ 嘅一個加法子環，咁對應任何 ${\textbf {R}}$ 入面嘅 $a,b\in {\textbf {R}}$ ， $a{\textbf {I}}\subset {\textbf {I}}$ 同 ${\textbf {I}}b\subset {\textbf {I}}$ 成立嘅話 ${\textbf {I}}$ 就係 ${\textbf {R}}$ 嘅環倍數。

如果唔用上面嘅定義， ${\textbf {I}}$ 就係定一個 $x\in {\textbf {R}}$ ， ${\textbf {I}}:=\{ax:a\in {\textbf {R}}\}$ ，而 ${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$ 。

或者：

$({\textbf {I}},+)$ 係一個加法子環 $({\textbf {R}},+)$
$\forall a\in {\textbf {R}},\forall x\in {\textbf {I}},a\times x,x\times a\in {\textbf {I}}$

簡單嚟講就係所有 $x$ 係 ${\textbf {R}}$ 入面嘅倍數。同埋 ${\textbf {I}}$ 係 ${\textbf {R}}$ 嘅子環。

性質

性質一

${\textbf {I}}$ 係一個子環。

性質二

對應任何一個環同位轉換 $\phi :{\textbf {R}}\to {\textbf {R'}}$ ， $\phi$ 嘅核心（ $\ker \phi$ ）係一個環倍數。

性質三

設 ${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$ 係一個加法子群。咁群乘法 $(a+{\textbf {I}})(b+{\textbf {I}})=(ab)+{\textbf {I}}$ 係完美定義 $\iff$ ${\textbf {I}}$ 係一個環倍數。

性質四

設 ${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$ 係一個環倍數。咁 ${\textbf {I}}$ 嘅左群倍數會變成一個環，叫做 ${\textbf {R}}$ 除 ${\textbf {I}}$ 嘅同餘環，會寫做 ${\textbf {R}}/{\textbf {I}}$ ，佢嘅運算係 $(a+{\textbf {I}})(b+{\textbf {I}})=(a+b)+{\textbf {I}}$ 同埋 $(a+{\textbf {I}})(b+{\textbf {I}})=(ab)+{\textbf {I}}$ 。

性質五

設 ${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$ 係一個環倍數。咁轉換 $\pi :{\textbf {R}}\to {\textbf {R}}/{\textbf {I}}$ 係定義為 $\pi (a)=a+{\textbf {I}}$ 係一個滿射，同時 $\ker \pi ={\textbf {I}}$ ，咁呢個就係叫做傳統轉換。

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