環論

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環論抽象代數入面嘅其中一個研究分支,主要研究呢個代數結構,環係一種類似整數嘅結構,有加法乘法,而且符合交換律結合律分配律等等嘅性質。環論研究環嘅結構,環嘅表示論(或者叫做),一啲特別類型嘅環(羣環除環萬有包絡環),同埋一啲特別嘅性質,例如同調性質同埋多項式恆等式英文Polynomial identity ring等。

數學家對交換環嘅認識比非交換環深好多。代數幾何同埋代數數論提供咗好多交換環嘅例子,大大咁刺激同推進咗交換環理論嘅發展,呢個領域依家叫做交換代數,成爲咗現代數學好重要嘅一部分。因爲呢三個領域(代數幾何、代數數論同交換代數)嘅關係太緊密,有時好難區分某個定理究竟喺屬於呢三個領域之中嘅邊個,噉嘅區分亦都係無意義嘅。例如Hillbert's Nullstellensatz,係代數幾何入面嘅基礎定理,但係個定理嘅論述同埋證明都係用交換幾何嘅。又例如費馬最後定理,佢嘅論述係好簡單嘅初等數論,但係證明就大量牽涉到代數幾何同埋代數數論喇。

非交換環就唔同喇,因爲會有好多奇怪嘅現象發生,雖然佢係一個獨立嘅理論,但係近年嘅研究趨勢係將佢擺埋係交換環隔籬平行發展,用幾何嘅思維去諗,當個環係某個奇怪空間嘅函數環,呢個趨勢係喺1980年代開始,發展出非交換幾何,同埋發現量子羣。呢啲理論加深咗數學家對非交換環嘅認識,特別係非交換Noetherian環

想睇環嘅基本定義、概念同埋性質,請去環 (代數)

交換環[編輯]

內文: 交換環交換代數

如果個環入面嘅乘法係交換嘅話,呢個環就叫做交換環。交換環之下仲有細分唔同種類嘅環,而呢啲唔同嘅性質好多時都係爲咗模仿翻整數環 入面嘅性質。喺交換代數入面,通常唔會逐個逐個元素去考慮,反而會考慮佢嘅理想,而質理想嘅定義就係爲咗模仿翻整數環入面質數嘅定義。

小結:歐幾理德域 => 主理想域 => 質數分解域 => => 交換環