環論

環論係抽象代數入面嘅其中一個研究分支，主要研究環呢個代數結構，環係一種類似整數嘅結構，有加法同乘法，而且符合交換律、結合律同分配律等等嘅性質。環論研究環嘅結構，環嘅表示論（或者叫做模），一啲特別類型嘅環（羣環、除環、萬有包絡環），同埋一啲特別嘅性質，例如同調性質同埋多項式恆等式等。

數學家對交換環嘅認識比非交換環深好多。代數幾何同埋代數數論提供咗好多交換環嘅例子，大大咁刺激同推進咗交換環理論嘅發展，呢個領域依家叫做交換代數，成爲咗現代數學好重要嘅一部分。因爲呢三個領域（代數幾何、代數數論同交換代數）嘅關係太緊密，有時好難區分某個定理究竟喺屬於呢三個領域之中嘅邊個，噉嘅區分亦都係無意義嘅。例如Hillbert's Nullstellensatz，係代數幾何入面嘅基礎定理，但係個定理嘅論述同埋證明都係用交換幾何嘅。又例如費馬最後定理，佢嘅論述係好簡單嘅初等數論，但係證明就大量牽涉到代數幾何同埋代數數論喇。

非交換環就唔同喇，因爲會有好多奇怪嘅現象發生，雖然佢係一個獨立嘅理論，但係近年嘅研究趨勢係將佢擺埋係交換環隔籬平行發展，用幾何嘅思維去諗，當個環係某個奇怪空間嘅函數環，呢個趨勢係喺1980年代開始，發展出非交換幾何，同埋發現量子羣。呢啲理論加深咗數學家對非交換環嘅認識，特別係非交換Noetherian環。

想睇環嘅基本定義、概念同埋性質，請去環 (代數)。

交換環

内文：交換環同交換代數

如果個環入面嘅乘法係交換嘅話，呢個環就叫做交換環。交換環之下仲有細分唔同種類嘅環，而呢啲唔同嘅性質好多時都係爲咗模仿翻整數環 $\mathbb {Z}$ 入面嘅性質。喺交換代數入面，通常唔會逐個逐個元素去考慮，反而會考慮佢嘅理想，而質理想嘅定義就係爲咗模仿翻整數環入面質數嘅定義。

• 域：非零交換環，入面唔係零嘅元素乘埋都唔係零，喺上面可以研究整除性；
• 主理想域：每一個理想都係主理想，亦即係話，每一個理想都係由一個元素生成；
• 歐幾理德域：存在輾轉相除法嘅域。

小結：歐幾理德域 => 主理想域 => 質數分解域 => 域 => 交換環。