質數分解域

質數分解域（Unique factorization domain）係一種代數結構，屬環論之下。

質數分解域只係將質數分解入面可以將數字分解做質數同質數表示嘅獨有性應用喺代數入面。佢可以引伸出一條好重要嘅定理，就係質數分解域定理：「所有嘅單點環倍數域都係一個質數分解域。」

歷史

「可唔可以喺一個域入面做因式分解？」呢個問題係由數學家拿米（Gabriel Lamé）證明緊費馬最後定理（Fermat Last Theorem）中途而提問。費馬最後定理講嘅係當 $n\geq 2$ ， $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 係無整數嘅解。呢條定理係好難證明，就算將 $n=p$ ， $p$ 係單數或質數都係好難證明。

喺1847年3月1號嘅巴黎學術會議，拿米話自己成功證明到費馬最後定理，重將自己嘅證明步驟演譯一次。拿米嘅諗法係將 $x^{p}+y^{p}$ 分解成虛數多項式，即係 $x^{p}+y^{p}=(x+y)(x+\alpha y)(x+\alpha ^{2}y)\cdots (x+\alpha ^{p-1}y)$ ， $\alpha$ 係第 $p$ 個始根。之後，佢覺得所有因數都係相對質數同時，如果 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ，每一個 $p$ 因數都一定係有 $p$ 咁多次方。如果 $x',y',z'$ 都係細過原來嘅三個數嘅組合，因為呢個假設會推論出有一條無限長嘅遞減正整數數列，咁佢就可以證明出呢條定理。

但係另一個數學家Joseph Liouville質疑佢嘅諗法。每一個相對質數嘅因數係 $p$ 次方，因為每一個佢哮嘅積係根據「所有整數都可以分解成質數，而呢個質數分解係獨有嘅」。Liouville提出點解佢可以做質數分解。雖然拿米好想解決佢呢個問題，但係喺5月24號，Liouville發現Ernst Kummer喺1844年已經證明咗「 $\mathbb {Z} [\alpha ]$ 係唔可以做質數分解」，呢個 $\alpha$ 係拿米提議嘅第 $23$ 個根。

直到1994年，數學家Andrew Wiles利用代數幾何嘅技巧證明出費馬最後定理。

可除性

定義

設 $a,b\in {\textbf {R}}$ 。

如果有一點 $c\in {\textbf {R}}$ 符合， $ac=b$ ，咁一般會叫 $b$ 被 $a$ 除，或者叫 $a$ 除 $b$ ， $a|b$ 。

同埋，一般會叫 $a$ 做 $b$ 嘅因數（Factor/divisor）， $b$ 係 $a$ 嘅倍數（Multiple）。

相等定義

如果 $a,b\in {\textbf {R}}$ ， $a|b$ 同埋 $b|a$ 成立。一般會話 $a\sim b$ 係相等。

同時，

$a\sim b$ 係等價關係；
如果 ${\textbf {R}}$ 係一個域，咁 $a\sim b\iff a=bu$ ，對應有一啲 $u\in {\textbf {R}}^{\times }$ 。

證明：

${\begin{cases}a|b\implies ac_{1}=b\\b|a\implies a=bc_{2}\end{cases}}$

$\implies {\begin{aligned}a&=bc_{2}\\ac_{1}&=bc_{2}c_{1}\\b&=bc_{2}c_{1}\\b^{-1}b&=b^{-1}c_{2}c_{1}\\1&=c_{2}c_{1}\end{aligned}}$

所以 $c_{1},c_{2}\in {\textbf {R}}^{\times }$ 。

質數同不可分解數

討論質數分解域會利用 ${\textbf {R}}\backslash ({\textbf {R}}^{\times }\cup \{0\})$ 嚟代表非零非單位（non-zero non-unit）呢樣嘢。

如果 $a\in {\textbf {R}}\backslash ({\textbf {R}}^{\times }\cup \{0\})$ ：

$a$ 係不可分解數（Irreducible）如果佢無任何因數。
$a$ 係質數（Prime）如果對應任何係 ${\textbf {R}}$ 入面嘅嘢， $\forall {\text{ }}b,c\in {\textbf {R}}$ ，同時 $a|bc$ ，咁 $a|b$ 或者 $a|c$ 。

例子

喺 $\mathbb {Z}$ （或者 ${\textbf {F}}[x]$ ）入面，質數 $=$ 不可分解數。
喺 $\mathbb {Z} _{6}$ ， $2$ 係一個質數，但係唔係不可分解數，因為 $2=2\times 4$ 。（基本上，質數未必係不可分解數。）

環倍數性質

如果用環倍數（Principal Ideal）解釋以上呢幾件事，可以得出以下五個性質：

$a|b\iff \langle b\rangle \subseteq \langle a\rangle$
$a\sim b\iff \langle a\rangle =\langle b\rangle$
$u\in {\textbf {R}}^{\times }\iff \langle u\rangle ={\textbf {R}}$
$a\in {\textbf {R}}\backslash ({\textbf {R}}^{\times }\cup \{0\})$ 係質數 $\iff \langle a\rangle$ 係質數。
任何一個域（Integral Domain）， $a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$ 係不可分解數（Irreducibe） $\iff \langle a\rangle$ 係最大嘅環倍數。

證明：

證明(1)

$a|b\iff b\in \langle b\rangle \iff \langle b\rangle \subseteq \langle a\rangle$

證明(2)

$(1)\implies (2)$

證明(3)

睇最大環倍數

證明(4)

$(\Rightarrow )$ 如果 $a$ 係質數，設 $bc\in \langle a\rangle$ 。

$bc\in \langle a\rangle \iff a|bc\implies a|b\quad (\iff b\in \langle a\rangle ){\text{ or }}a|c\quad (\iff c\in \langle a\rangle )$

$(\Leftarrow )$ 如果 $\langle a\rangle$ 係質數。

$a|bc\iff bc\in \langle a\rangle \implies b\in \langle a\rangle {\text{ or }}c\in \langle a\rangle$

證明(5)

$(\Rightarrow )$ 假設 $a$ 係不可分解數。

${\begin{aligned}\langle a\rangle \subsetneqq \langle b\rangle \subset {\textbf {D}}&\implies b|a{\text{ and }}b\nmid a\\&\implies a=bc\\&\implies b\in {\textbf {D}}^{\times }\\&\implies \langle b\rangle ={\textbf {D}}\end{aligned}}$

第二步，對應一啲 $c\in {\textbf {D}}\backslash {\textbf {D}}^{\times }$ 。

$(\Leftarrow )$ 假設 $\langle a\rangle$ 係最大環倍數，設 $a=bc$ 。

得出 $\langle a\rangle \subset \langle b\rangle \subset {\textbf {D}}$ 同埋 $\langle a\rangle \subset \langle c\rangle \subset {\textbf {D}}$ ；

因為 $\langle a\rangle$ 係最大，所以一係 $\langle a\rangle =\langle b\rangle$ 或者 $\langle a\rangle =\langle c\rangle$ 。

$\langle a\rangle =\langle b\rangle$ ： $\implies a\sim b\implies c\in {\textbf {D}}^{\times }$

$\langle a\rangle =\langle c\rangle$ ： $\implies a\sim c\implies b\in {\textbf {D}}^{\times }$

所以 ${\textbf {D}}$ 係一個域（Integral Domain）。

域性質

假設 ${\textbf {D}}$ 係一個域（Integral Domain），咁質數 $\implies$ 不可分解數。

如果 ${\textbf {D}}$ 係單點質數域（PID），咁質數 $=$ 不可分解數。

證明：

(1)

設 $a\in {\textbf {R}}\backslash ({\textbf {R}}^{\times }\cup \{0\})$ 係質數。假設 $a=bc$ 。

咁 $a|bc\implies a|b{\text{ or }}a|c$ 。

所有嘢都約到最簡，如果 $a|b$ ，咁 $b=ar$ ，對應一啲 $r\in {\textbf {D}}$ 。

咁 $a=arc\implies rc=1\implies c\in {\textbf {D}}$

(2)

假設 $a$ 係不可以分解數。

因為 ${\textbf {D}}$ 係PID，利用環倍數性質(5)，

$\implies \langle a\rangle$ 喺 ${\textbf {D}}$ 入面係最大

$\implies \langle a\rangle$ 係質數

$\implies a$ 係質數

例子

$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\{a+b{\sqrt {-5}}|a,b\in \mathbb {Z} \}$ 係一個域，因為佢係 $\mathbb {C}$ 入面嘅一個子環。係 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 入面， $3$ 係不可分解數。 $3|3^{2}=9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {5}})$ ，但係 $3\not |(2\pm {\sqrt {-5}})$ ，所以 $3$ 唔係質數。