等價關係

等價關係（Equivalence Relation）係現代數學入面一個基本概念。主要應用喺抽象代數、數論同集合論。佢嘅作用係將兩樣唔同嘅嘢，用一個規則連埋一齊。市井啲講，有個規則出嚟，如果有兩樣嘢都符合呢個規則，咁呢兩樣嘢就叫一樣（等價）。而呢個規則必須要符合三個條件。喺數學上面，等價關係可以簡化好多複雜嘅問題。

定義

假設有兩個集A同B，如果A同B係滿足「$\sim$」呢個條件嘅話，A就係等價於B基於「$\sim$」呢個條件。用數學表示就係$A\sim B$。

「$\sim$」呢個條件係用家定義出嚟，但佢必須要符合以下三個條件：

• 自反性（Reflective）：$A\sim A$。即係話自己必須要等價返自己。市井啲講，自己一定要係同自己一樣。
• 對稱性（Symmetry）：如果$A\sim B$，咁$B\sim A$。即係話A等價B，咁B都係要等價返A。
• 傳遞性（Transitive）：如果$A\sim B$同時$B\sim C$，得出$B\sim C$。

實例

等於「$=$」

最常用亦都係最基本嘅等價關係就係等於。例如：「$2=2$」、「$2+3=5$」。「$=$」係符合嗮「$\sim$」嘅三個條件。

• 自反性：任何 $x$，$x=x$。用數字嚟做例子就有，$2=2$。
• 對稱性：任何 $x$、$y$，$x=y=x$。
• 傳遞性：任何 $x$、$y$、$z$，$x=y=z=x$。

m同餘「${\bmod {m}}$，$\equiv$」

m同餘都係一個等價關係。例子就係「$12\equiv 24{\bmod {2}}$」。大家都係2嘅倍數，所以佢哋嘅同餘都係零。

應用

等價關係最重要嘅作用係可以用嚟做等價分類。

睇埋

• 序關係
• 等價分類