場上多項式

場上多項式（Polynomials over Fields）係一類多項式，呢類多項式嘅常數係黎自一個場。

定義

${\textbf {D}}$係一個域，${\textbf {F}}$係一個場。

咁一個場上嘅多項式係：

$$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$

而所有嘅$i=0,\cdots ,n$，$a_{i}\in {\textbf {F}}$。

呢個多項式嘅次方（Degree）係$n$，一般會用$\deg f=n$黎代表$f$呢個多項式嘅次方。

$a_{n}$就係呢個多項式嘅帶領常數（Leading Coefficient）。

如果$a_{n}=1$，咁呢個多項式就係單調多項式（monic）。

唔同次方嘅多項式同計算

名	多項式	次方
零項式 （Zero Polynomial）	$0$	$-\infty$
常數 （Constant）	$a,a\in {\textbf {F}}$	$0$
線性多項式 （Linear）	$a_{1}x+a_{0}$	$1$
二次多項式 （Quadratic）	$a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$2$
三次多項式 （Cubic）	$a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$3$
四次多項式 （Quartic）	$a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$4$
五次多項式 （Quintic）	$a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$5$
六次多項式 （Sextic）	$a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$6$

多項式加法

場上多項式嘅加法同中學學嘅基本上一樣。

有兩個多項式，$f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$同$g=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}$。

咁$f+g=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+\cdots$

多項式乘法

有兩個多項式，$f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$同$g=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}$。

咁$fg=c_{0}+c_{1}x+\cdots$

而$c_{k}=\sum _{k}^{i+j}a_{k}b_{i+j-k}$。

域上多項式環定理

有左呢兩個運算，可以將所有嘅場上多項式集合埋一齊整一個域上多項式環${\textbf {D}}[x]$（Polynomial Ring）。

定理

設${\textbf {D}}$係一個域，咁${\textbf {D}}[x]$係一個域上多項式環，咁：

1. ${\textbf {D}}[x]$都係一個域；
2. 如果$p,q\in {\textbf {D}}[x]$都係${\textbf {D}}[x]$入面，咁$\deg(p+q)\leq \max\{\deg p,\deg q\}$；
3. 所有係${\textbf {D}}[x]$入面嘅$p,q\in {\textbf {D}}[x]$，$\deg(pq)=\deg(p)+\deg(q)$；
4. ${\textbf {D}}[x]$嘅單位就係${\textbf {D}}$嘅單位。

域-多項式相等定理

如果${\textbf {D}}$同${\textbf {D}}'$都係域，$\varphi :{\textbf {D}}\to {\textbf {D}}'$係一個環相等轉換，咁${\hat {\varphi }}:{\textbf {D}}[x]\to {\textbf {D}}'[x]$呢個轉換就係${\hat {\varphi }}(a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n})=\varphi (a_{0})+\varphi (a_{1})x+\cdots +\varphi (a_{n})x^{n}$，而佢都係一個環相等轉換。

呢條定理講左，如果兩個域係一樣，咁佢地整出黎嘅域上多項式環都會係一樣。

睇埋

• 環
• 域
• 歐幾理德域
• 質數分解域
• 場上多項式環