場上多項式(Polynomials over Fields)係一類多項式,呢類多項式嘅常數係黎自一個場。
係一個域,係一個場。
咁一個場上嘅多項式係:
而所有嘅
,
。
呢個多項式嘅次方(Degree)係,一般會用黎代表呢個多項式嘅次方。
就係呢個多項式嘅帶領常數(Leading Coefficient)。
如果,咁呢個多項式就係單調多項式(monic)。
唔同次方嘅多項式同計算[編輯]
多項式加法[編輯]
場上多項式嘅加法同中學學嘅基本上一樣。
有兩個多項式,同。
咁
多項式乘法[編輯]
有兩個多項式,同。
咁
而。
域上多項式環定理[編輯]
有左呢兩個運算,可以將所有嘅場上多項式集合埋一齊整一個域上多項式環(Polynomial Ring)。
設係一個域,咁係一個域上多項式環,咁:
- 都係一個域;
- 如果都係入面,咁;
- 所有係入面嘅,;
- 嘅單位就係嘅單位。
域-多項式相等定理[編輯]
如果同都係域,係一個環相等轉換,咁呢個轉換就係,而佢都係一個環相等轉換。
呢條定理講左,如果兩個域係一樣,咁佢地整出黎嘅域上多項式環都會係一樣。