歐幾理德域

歐幾理德域（Euclidean domain）係一個代數性質。佢有一個條件，符合呢個條件嘅域，就係歐幾理德域。

定義

一個域${\textbf {D}}$係歐幾理德域，咁佢一定有一個轉換$E$將${\textbf {D}}$嘅嘢射去$\mathbb {N} ^{+}$，非零整數，同埋呢個轉換一定係符合以下性質；

• $E(0)=0$
• 對應所有$a\in {\textbf {D}}$，$b\in {\textbf {D}}\backslash \{0\}$，一定會有一個$q,r\in {\textbf {D}}$喺${\textbf {D}}$入面，使到$a=qb+r$同埋$E(r)<E(b)$。

一般會叫呢個轉換$E$做歐幾理德距離（Euclidean Norm）。

明顯整數$\mathbb {Z}$係一個歐幾理德域，同埋佢嘅距離就係$E(a)=|a|$。因為有餘數定理，所以佢就係一個歐幾理德域。

單點環倍數域性質

每一個歐幾理德域都係單點環倍數域。

證明：

設${\textbf {D}}$係歐幾理德域。

咁$\{0\}$一定係單點。

設$I$做一個環倍數，$b\in I$係喺$I$入面而且非零，重要符合$E(b)=\min\{E(x):x\in I\backslash 0\}$。

如果$a\in I$，咁就一定有$q,r$使到$a=qb+r$，$E(r)<E(b)$。

因為$r=a-qb\in I$，咁除非$r=0$，否則就會矛盾。

所以$a=qb$，$I={\textbf {D}}b=\langle b\rangle$，係單點。

高斯整數

内文：高斯整數

高斯整數（Gaussian Integers）$\mathbb {Z} [i]$係另一個出名嘅歐幾理德域。

$\mathbb {Z} [i]=\{x+yi:x,y\in \mathbb {Z} \},i={\sqrt {-1}}$

佢係一個域，同時佢嘅歐幾理德距離$E$係$E(z)=|x+yi|^{2}=x^{2}+y^{2}$

睇埋

• 單點環倍數域
• 質數分解域
• 質數分解域定理
• 高斯整數
• 場上多項式