環 (代數)

環（粵拼：waan4）係數學入面一個重要嘅代數結構。佢係一個集帶住兩個二元運算，通常叫做加同乘，係平時數字嘅加法、乘法嘅推廣。環入邊嘅元素可以係有理數、複數呢啲數字，亦都可以係函數、矩陣呢啲非數字，甚至係幾何物體都得，只要定義好佢哋之間嘅加法同乘法，而且符合一列嘅規則（公理）就得。

基本上，好多嘅計算都係喺環上面進行。

定義

一個代數環$({\textbf {R}},+,\times )$係一個集${\textbf {R}}$連帶住兩個二元運算$+$同埋$\times$，即係加法同乘法。而佢哋必須符合呢幾條叫做環公理（ring axiom）嘅規則：

• $({\textbf {R}},+)$係阿貝爾羣。
  • $\forall a,b,c\in R,(a+b)+c=a+(b+c)$
  • $\exists 0\in R{\text{, such that }}\forall a\in R,a+0=0+a=a$
  • $\forall a\in R,\exists {\text{ }}-a{\text{ such that }}a+(-a)=(-a)+a=0$
  • $\forall a,b\in R,a+b=b+a$
• 乘法係可以結合（Associative）。
  • $\forall a,b\in {\textbf {R}},a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
• 乘法對於加法符合分配律：
  • $\forall a,b,c\in {\textbf {R}},a\times (b+c)=(a\times c)+(b\times c){\text{ and }}(a+c)\times c=(a\times c)+(b\times c)$。

如果$({\textbf {R}},+,\times )$係一個環：

• ${\textbf {R}}$係可溝通環（commutative），或者可溝通性，即係話係${\textbf {R}}$入面揀任何兩粒嘢$a,b\in {\textbf {R}}$，都會滿足$ab=ba$。
• ${\textbf {R}}$係有單位（with unity），或者單位性，即係話${\textbf {R}}$入面對應任何一粒嘢，佢都會有一粒乘法恆等元（multiplicative identity），即係會有一粒嘢叫${\underline {1}}$符合$a\times {\underline {1}}={\underline {1}}\times a=a$。

如果唔用群嘅術語嚟定義：

一個集${\textbf {R}}$連帶住兩個二元運算$+$同埋$\times$，即係加法同乘法。如果$({\textbf {R}},+,\times )$係一個環，佢哋必須符合：

• 包住/被綁定（Closure）：$a+b\in {\textbf {R}};a\times b\in {\textbf {R}}\quad a,b\in {\textbf {R}}$
• 結合性（Associativity）：$(a+b)+c=a+(b+c);(a\times b)\times c=a\times (b\times c)\quad a,b,c\in {\textbf {R}}$
• 可溝通性（Commutativity）：$a+b=b+a\quad a,b\in {\textbf {R}}$
• 可融性（Distributivity）：$(a+b)\times c=a\times c+b\times c\quad a,b,c\in {\textbf {R}}$
• 有恆等元（Identity）：$\exists {\text{ }}{\underline {0}}\in G{\text{ such that }}\forall a\in G,a+{\underline {0}}={\underline {0}}+a=a$
• 有可逆元（Inverse）：$\forall a\in G,\exists {\text{ }}-a{\text{ such that }}a+(-a)=(-a)+a={\underline {0}}$

例子

整數帶住加法同乘法，係環嘅原型。

例一：

• $(\mathbb {Z} ,+,\times )$
• $(\mathbb {Q} ,+,\times )$
• $(\mathbb {R} ,+,\times )$
• $(\mathbb {C} ,+,\times )$

呢啲平時用開嘅數字系統都係環。

例二：

設$F$係一個集包括所有由$\mathbb {R}$去$\mathbb {R}$嘅函數，即係$F:=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$。

$(F,+)$係阿貝爾羣，加法係咁樣定義嘅：$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$。

定義${\displaystyle \times$ :=(fg)(x)=f(x)+g(x)} 。

可以證明$F$係一個環。

性質

${\textbf {R}}$係一個環，咁佢一定會有一個加法恆等元素（Additive Identity）${\underline {0}}$，對應任何$a,b\in {\textbf {R}}$，以下嘅事情都成立：

• $0a=a0=0$
• $a(-b)=(-a)b=-(ab)$
• $(-a)(-b)=ab$

其他特性

${\textbf {R}}$係一個環。

• ${\textbf {R}}$係可溝通性$\iff$$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，對應所有嘅$a,b\in {\textbf {R}}$。
• 如果$({\textbf {R}},+)$係阿貝爾羣同埋$ab=0,\forall a,b\in {\textbf {R}}$，咁$({\textbf {R}},+,\times )$係一個環。

歷史

環論嘅歷史可以追溯到十九世紀。環論發展成形嘅原因，主要係嚟自當時嘅數學家想解決兩類環嘅問題：實數或虛數、多項式環同埋整數環。即係話，佢哋主要係為解決多項式同埋整數嘅問題，而發明出環呢個概念。

環係由數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）第一個用「環」呢個字，但係當時都重未有一個好確實嘅定義。直到二十世紀二十年代，環先至有一個好確實嘅定義。

1921年，數學家Emmy Noether喺佢嘅著作《環理想理論》（Ideal Theory in Rings）提出咗一堆有關可溝通環嘅理論。呢篇文入面最重要嘅定理就係「環倍數連鎖定理」（Ascending Chain of Ideals）。

Emmy Noether喺1907年讀完博士之後，希爾伯特喺1915年叫佢去哥德根大學幫佢手做研究。但係因為Noether係個女人，令到當時嘅大學唔肯畀一個教席佢。所以佢一直都係用囂拔個名嚟教書。直到1923年，打完第一次世界大戰，因為有啲政策上嘅改動，佢先有返一個教席。但喺1933年希特拉上台，身為猶太人嘅佢好快就被迫走到美國費城。

睇埋

• 域
• 環同位轉換
• 環相等轉換
• 場

註

書目

• Bourbaki, N. (1989). Algebra I, Chapters 1–3. Springer.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics,第211卷 (第Revised third版), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra. AMS Chelsea.