交換環

交換環係抽象代數環論入面嘅一種環，佢嘅乘法運算滿足到交換律。研究交換環嘅學問叫做交換代數，相反，非交換代數就係研究非交換環嘅學問。

最簡單嘅交換環例子有整數環$\mathbb {Z}$、單變數多項式環$R[x]$、多變數多項式環$R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$同埋佢哋嘅商環，佢哋喺代數數論同埋代數幾何入面好有用。

定義同例子

定義

想知多啲：環 (代數)

一個環係一個集合 $R$ 附上兩個二元運算，通常叫做加法同乘法，符號係「+」同埋「⋅」例如｢$a+b$｣、｢$c\cdot d$｣咁，而且佢哋要符合一啲條件：$R$ 附上「 + 」要係一個阿貝爾羣，$R$ 附上「 ⋅ 」要係一個么半羣（monoid），同埋乘法對加法要滿足分配律。加法同乘法嘅單位元素通常分別用 0 同 1 嚟表示。

如果乘法係交換嘅話，即係話對所有嘅 a 同 b：

a ⋅ b = b ⋅ a

咁個環 $R$ 就話係交換嘅。

例子

一個好簡單但係非常重要嘅例子係整數環 $\mathbb {Z}$，由於整數乘法係交換嘅，呢個係一個交換環嚟。$\mathbb {Z}$ 呢個符號係嚟自德文嘅 Zahlen （數）。

一個場係一個交換環，當中 $0\neq 1$ 同埋所有非零元素都有乘法逆元素，所以根據定義，所有場都係環嚟。有理數、實數同埋複數都係呢類嘅例子。

如果我哋已經有一個交換環 R，我哋可以喺佢之上構作多項式環 R[X] 甚至多未知數多項式環 R[X₁, X₂, ..., X_n]，佢哋都係交換環。

如果 V 係一個拓撲空間，例如 $\mathbb {R} ^{n}$ 嘅開集，V 上面嘅連續實/複函數形成一個交換環，如果 V 有可微結構或者複結構嘅話，例如 V 係一個複流形，咁 V 上面嘅可微函數或者全純函數都形成一個交換環。

除數

係一個場入面，任何元素都可以做除數，但係喺環入面，除數嘅理論就有趣好多，因為唔係所有元素都可以做除數。如果一個元素有乘法逆元嘅話，咁呢個元素就叫做可逆元素。另一個概念叫做零因子，啫係話一個元素 a，存在另一個非零元素 b 令到 ab = 0。如果個環 R 係冇非零零因子嘅話，R 就係一個域。如果一個元素 a 對某個正整數 n 符合 aⁿ = 0 嘅話，呢個 a 就叫做係零冪嘅。

局部化

内文：局部化 (環)

環嘅局部化係一個過程，令到某啲唔可逆嘅元素變成可逆，亦即係話，增添一啲乘法逆元入個環到。詳細啲講，如果 S 係一個乘法封閉集（啫係如果 $a$, $b$ 都喺 S 入面嘅話，$ab$ 都要喺 S 入面），咁 R 對 S 嘅局部化，通常用 S^-1R 嚟表示，係由

${\frac {r}{s}}$，$r\in R,s\in S$

嘅樣嘅元素組成，當中佢哋嘅加法、乘法同等於關係同平時我哋做分數計算差唔多。事實上，有理數 $\mathbb {Q}$ 其實係整數環 $\mathbb {Z}$ 對非零整數嘅局部化。相似地，對任何域 R 我哋都可以對非零元素 R\{0} 做局部化，得到佢嘅域中分數場 Frac(R)。如果 S 係由一個固定元素 f 嘅所有次方組成，噉個局部化就可以寫成 $R_{f}$，如果 S 係一個質理想嘅補集嘅話，局部化會寫做 $R_{(p)}$。

書目

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• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics,第150卷, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Hochster, Melvin (2007), "Homological conjectures, old and new", Illinois J. Math., 51 (1): 151–169, doi:10.1215/ijm/1258735330
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• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (第2版), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6
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睇埋

• Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co.
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (第Revised版), University of Chicago Press, MR 0345945
• Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics,第13卷, Interscience Publishers, pp. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856
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