三角函數

三角函數

三角函數係角度嘅函數，由直角三角形嘅內角同兩條邊嘅比率去計。

定義

由於所有角度不變時，兩個三角形相似，對應邊長嘅比會一樣。所以邊長兩兩相比，產生出六個三角函數。

基本概念

三角函數有六個：

• 正弦（sin），值域係 $[-1,1]$。
• 餘弦（cos），值域係 $[-1,1]$。
• 正切（tan），值域係 $(-\infty ,\infty )$。
• 餘切（cot），值域係 $(-\infty ,\infty )$。
• 正割（sec），值域係 $([-\infty ,-1]$ 同埋 $[1,\infty ])$。
• 餘割（csc），值域係 $([-\infty ,-1]$ 仲有 $[1,\infty ])$。

（睇吓區間。）

另外 $\mathrm {cis} (x)$ 係 $\cos(x)+i\sin(x)$ 嘅意思。(呢度 $i$ 係虛數單位。)

關係

$\sin(x)=\cos(90^{\circ }-x)=\cos(x-90^{\circ })$

$\cos(x)=\sin(90^{\circ }\pm x)$

$\tan(x)={\sin(x) \over \cos(x)}$

$\cot(x)={1 \over \tan(x)}$

$\sec(x)={1 \over \cos(x)}$

$\csc(x)={1 \over \sin(x)}$

圓定義

三角函數亦可以用圓形來定義。如果傾角叫 $x$ 喺單位圓（半徑係 $1$ 嘅圓）嘅高度就係 $\sin(x)$，闊度就係 $\cos(x)$，相對於圓心，所以有正負之分。而當闊度係 $1$ 嗰陣，高就係$\tan(x)$。

同複數嘅關係

因為發現咗歐拉恆等式同歐拉公式，三角函數亦都可以用複數嚟表示，互相有連繫。