歐拉公式

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歐拉公式

歐拉公式Euler's formula)係瑞士數學家歐拉提出嘅數學分析公式,指出咗三角函數複指數函數之間嘅關係。內容係對任何實數 x

當中 e 係歐拉常數,i 係虛數單位,cos 同 sin 係三角函數。複指數函數有時會寫做 cis x(cosine + i sine)。呢條式對於複數嘅 x 都喺啱嘅,所以有啲人講歐拉公式係指複數嘅歐拉公式。

歐拉公式喺數學物理工程學無處不在。著名物理學家理察費曼話呢條公式係「我哋嘅寶石」、「數學入面最卓越嘅公式」。

入去嘅話,條式變咗 ,就係著名嘅歐拉恆等式

拓撲學理解[編輯]

用拓撲學嘅語言嚟講,歐拉公式展示咗虛指數函數 係由實數線 打去單位圓 嘅拓撲羣滿態射。事實上,呢個係一個覆蓋映射,所以 嘅覆蓋空間。同樣,歐拉恆等式話畀我哋知呢個映射嘅核係 。以上嘅結果可以用以下嘅交換圖去總結:

Euler's formula commutative diagram.png

證明[編輯]

用Taylor's級數證明嘅動畫

用冪級數[編輯]

採用複指數函數嘅冪級數定義嘅話,對實數 x:

尾二嗰步我哋可以調加數嘅次序,因爲兩個級數都喺絕對收斂嘅;最後一步用咗 cos 同 sin 嘅級數展開。