虛數單位

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數學
基本

延伸

其他

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = 
無窮大量 

(重複藍色區域樣式)
(重複藍色區域樣式)

數學物理同埋工程學當中虛數單位標記為。虛數單位嘅發明傳到實數系統能夠延伸至到複數系統 。延伸嘅主要動機係因為有好多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式就無實數解。但係假如我哋允許解答為虛數,噉樣呢個方程式以及所有嘅多項式方程式(參閱代數基本定理)就都會有解。

定義[編輯]

虛數單位 定義為二次方程式 嘅兩個解答中其中一個解答。呢個方程式又可等價表達為

由於實數嘅平方絕對唔可能係負數,所以我們假設有咁樣嘅一個數目解答,幫佢設定一個符號 。有一點好重要嘅就係, 係一個定義明確 (well-defined) 嘅數學構造。

實數運算可以延伸至虛數同複數。當計算一個表達式嘅時候,只需要假設 係一個未知數,然後跟住 嘅定義,替代任何 嘅出現為 的更高整數冪數也可以替代為 ,或 ,根據下面嘅方程式:

一般嚟講有以下嘅公式:

整數

i 嘅計算[編輯]

好多實數嘅運算都可以推廣到,例如指數對數同埋三角函數。注意,爾尐都係複變函數入面嘅多值函數,使用嘅時候一定要注意揀嘅係黎曼面嘅邊一支,下面衹係列出咗其中一支嘅結果。

一個數嘅次方係:

一個數嘅次方根係:

以i 為底嘅對數係:

嘅餘弦係一個實數:

嘅正弦係一個純虛數

睇埋[編輯]