數學嘅數
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基本
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延伸
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其他
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圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = ![{\displaystyle +{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126c0c912277f7c0b633ca5647270eb3d430342c)
無窮大量 ∞
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(重複藍色區域樣式)
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(重複藍色區域樣式)
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喺數學、物理同埋工程學當中虛數單位標記為
。虛數單位嘅發明傳到實數系統
能夠延伸至到複數系統
。延伸嘅主要動機係因為有好多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式
就無實數解。但係假如我哋允許解答為虛數,噉樣呢個方程式以及所有嘅多項式方程式(參閱代數基本定理)就都會有解。
虛數單位
定義為二次方程式
嘅兩個解答中其中一個解答。呢個方程式又可等價表達為
。
由於實數嘅平方絕對唔可能係負數,所以我們假設有咁樣嘅一個數目解答,幫佢設定一個符號
。有一點好重要嘅就係,
係一個定義明確 (well-defined) 嘅數學構造。
實數運算可以延伸至虛數同複數。當計算一個表達式嘅時候,只需要假設
係一個未知數,然後跟住
嘅定義,替代任何
嘅出現為
。
的更高整數冪數也可以替代為
,
,或
,根據下面嘅方程式:
,
,
。
一般嚟講有以下嘅公式:
![{\displaystyle i^{4n}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f7fffd2667cbf76c10cf0c83ca45ae2f67218e)
![{\displaystyle i^{4n+1}=i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ad3052b19006263b71c589a7a7e233ff2c1ae1)
![{\displaystyle i^{4n+2}=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74800e86cf42e53a04f76b4f72c9b6308b4c1f87)
![{\displaystyle i^{4n+3}=-i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f456e6ef6e112c596e6b7be92e91513ac10274)
- (
係整數)
好多實數嘅運算都可以推廣到
,例如指數、對數同埋三角函數。注意,爾尐都係複變函數入面嘅多值函數,使用嘅時候一定要注意揀嘅係黎曼面嘅邊一支,下面衹係列出咗其中一支嘅結果。
一個數嘅
次方係:
![{\displaystyle \!\ x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa0ad91e26d5783b385b84af65cddfb7d154ff6)
一個數嘅
次方根係:
![{\displaystyle \!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36709010dbba75c75e417784a6446e663a101493)
以i 為底嘅對數係:
![{\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d772c06bbfffc4a7ad015a61695219b6725c16)
嘅餘弦係一個實數:
![{\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx 1.54308064.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7370025d708305e66ab9c023fc5ec7c405c49b)
嘅正弦係一個純虛數:
![{\displaystyle \sin i=\,i\sinh 1={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i\approx 1.19520119i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c83193dfd987d5c661459c3b314b56dd6898884)