虛數單位

$\ldots$（重複藍色區域樣式）

$i^{-3}=i\,\!$

$i^{-2}=-1\,\!$

$i^{-1}=-i\,\!$

$i^{0}=1\,\!$

$i^{1}=i\,\!$

$i^{2}=-1\,\!$

$i^{3}=-i\,\!$

$i^{4}=1\,\!$

$i^{5}=i\,\!$

$i^{6}=-1\,\!$

$\ldots$（重複藍色區域樣式）

喺數學、物理同埋工程學當中虛數單位標記為$i\,\!$。虛數單位嘅發明傳到實數系統$\mathbb {R} \,\!$能夠延伸至到複數系統 $\mathbb {C} \,\!$。延伸嘅主要動機係因為有好多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式$x^{2}+1=0\,\!$就無實數解。但係假如我哋允許解答為虛數，噉樣呢個方程式以及所有嘅多項式方程式（參閱代數基本定理）就都會有解。

定義

虛數單位 $i\,\!$ 定義為二次方程式 $x^{2}+1=0\,\!$ 嘅兩個解答中其中一個解答。呢個方程式又可等價表達為

$x^{2}=-1\,\!$ 。

由於實數嘅平方絕對唔可能係負數，所以我們假設有咁樣嘅一個數目解答，幫佢設定一個符號 $i\,\!$ 。有一點好重要嘅就係，$i\,\!$ 係一個定義明確 (well-defined) 嘅數學構造。

實數運算可以延伸至虛數同複數。當計算一個表達式嘅時候，只需要假設 $i\,\!$ 係一個未知數，然後跟住 $i\,\!$ 嘅定義，替代任何 $i^{2}\,\!$ 嘅出現為 $-1\,\!$ 。 $i\,\!$ 的更高整數冪數也可以替代為 $-i\,\!$ ，$1\,\!$ ，或 $i\,\!$，根據下面嘅方程式：

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,\!$ ，

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,\!$ ，

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,\!$ 。

一般嚟講有以下嘅公式：

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i\,$

（$n$係整數）

i 嘅計算

好多實數嘅運算都可以推廣到$i$，例如指數、對數同埋三角函數。注意，爾尐都係複變函數入面嘅多值函數，使用嘅時候一定要注意揀嘅係黎曼面嘅邊一支，下面衹係列出咗其中一支嘅結果。

一個數嘅$ni$次方係：

$\!\ x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}.$

一個數嘅$ni$次方根係：

$\!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}.$

以i 為底嘅對數係：

$\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }.$

$i$ 嘅餘弦係一個實數：

$\cos i=\cosh 1={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx 1.54308064.$

$i$ 嘅正弦係一個純虛數：

$\sin i=\,i\sinh 1={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i\approx 1.19520119i.$

睇埋

• 複數
• 虛數