虛數單位

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數學
基本

自然數
整數
二進分數
有限小數
循環小數
有理數
高斯整數
代數數
實數
複數

負數
分數
單位分數
無限小數
規矩數
無理數
超越數
二次無理數
虛數
艾森斯坦整數

延伸

雙複數
四元數
共四元數
八元數
超數
上超實數
超現實數

超複數
十六元數
複四元數
Tessarine
大實數
超實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數序列
數學常數

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = 
無窮大量 

(重複藍色區域樣式)
(重複藍色區域樣式)

數學物理同埋工程學當中虛數單位標記為。虛數單位嘅發明傳到實數系統能夠延伸至到複數系統 。延伸嘅主要動機係因為有好多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式就無實數解。但係假如我哋允許解答為虛數,噉樣呢個方程式以及所有嘅多項式方程式(參閱代數基本定理)就都會有解。

定義[編輯]

虛數單位 定義為二次方程式 嘅兩個解答中其中一個解答。呢個方程式又可等價表達為

由於實數嘅平方絕對唔可能係負數,所以我們假設有咁樣嘅一個數目解答,幫佢設定一個符號 。有一點好重要嘅就係, 係一個定義明確 (well-defined) 嘅數學構造。

實數運算可以延伸至虛數同複數。當計算一個表達式嘅時候,只需要假設 係一個未知數,然後跟住 嘅定義,替代任何 嘅出現為 的更高整數冪數也可以替代為 ,或 ,根據下面嘅方程式:

一般嚟講有以下嘅公式:

整數

i 嘅計算[編輯]

好多實數嘅運算都可以推廣到,例如指數對數同埋三角函數。注意,爾尐都係複變函數入面嘅多值函數,使用嘅時候一定要注意揀嘅係黎曼面嘅邊一支,下面衹係列出咗其中一支嘅結果。

一個數嘅次方係:

一個數嘅次方根係:

以i 為底嘅對數係:

嘅餘弦係一個實數:

嘅正弦係一個純虛數

睇埋[編輯]