超限數

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數學
基本

延伸

其他

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = 
無窮大量 

超限數係大過晒所有嘅有限數、仍然唔需要定義做絕對無限基數或者序數。術語「超限」(transfinite)係由康托爾提出,佢希望避免詞語無限(infinite)同嗰啲只不過唔係有限(finite)嘅嗰啲義象有關嘅某啲暗含。

當期時其他作者都好少有呢啲疑惑;依家俾人所接受嘅用法係假定超限基數或者序數係無限嘅,但即使係咁,而家術語「超限」一樣重有人用緊。

對於有限數,有兩種方式考慮超限數,作為基數同作為序數。不似得有限基數同序數咁樣,超限基數同超限序數定義咗唔同類別嘅數。

  • 第一個超限基數aleph-0 整數無限集合。如果選擇公理成立,下一個更高嘅基數就係 aleph-1 。如果唔成立,就會出現好多唔可以同 aleph-1 比較並且大過 aleph-0 嘅其他基數。但係喺任何情況之下,點都唔會有基數係大過 aleph-0 並且細過 aleph-1。

連續統假設聲稱係 aleph-0 同連續統(實數嘅集合)嘅勢之間係冇任何中間基數:即係話 aleph-1 係額數集合嘅勢。已經喺數學上証實咗連續統假設係証實唔到係真定係假,咁係由於不完備性嘅影響。

某啲作者,比如 Suppes、Rubin 用術語超限基數嚟稱呼戴德金無限集合嘅勢,係可以唔等於無限基數嘅上下文中;即係話係唔假定可數選擇公理成立嘅上下文中。

假設呢個定義係啱,下面四項就係等價嘅:

  • 係超限基數。就係話有一個戴德金無限集合 A 令到 A 嘅勢係
  • 有一個基數 使到

引用[編輯]

參考[編輯]