畢氏定理

畢氏定理

畢達哥拉斯定理bat1 daat6 go1 laai1 si1 ding6 lei5（英文：Pythagorean theorem；簡稱畢氏定理），又有叫勾股定理、勾股弦定理或者商高定理，係指直角三角形兩條直角邊長度嘅平方嘅和等於斜邊長度嘅平方，即係數式

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

證明

呢個定理有好多方法去證明，方法可能係數學眾多定理中最多嘅。路明思（Elisha Scott Loomis）嘅 Pythagorean Proposition 一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦同餘弦函數嘅泰勒級數）嚟證明畢氏定理，但係咁做會構成循環論證，所以唔用得，因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理。

利用相似三角形嘅證法

有好多畢氏定理嘅證明方式，都係基於相似三角形中兩邊長嘅比例。

設 $\triangle ABC$ 為一個直角三角形，直角係 $C$ 角。由 $C$ 點拉一條同 $AB$ 垂直嘅直線，直線同 $AB$ 嘅交叉點稱為 $H$。呢個新三角形 $\triangle ACH$ 同原本嘅三角形 $\triangle ABC$ 都有一個直角同 $A$ 呢個共同角，所以三個角都一樣，所以兩個三角形相似。同樣道理，$\triangle CBH$ 同 $\triangle ABC$ 都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係：

因為

$BC=a$，$AC=b$，同 $AB=c$，

所以

${\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}\qquad$同$\qquad {\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}$。

即係

$a^{2}=c\times HB\qquad$同$\qquad b^{2}=c\times AH$。

綜合呢兩個方程式，可以得到

${\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=c\times HB+c\times AH\\&=c\times (HB+AH)\\&=c\times AB\\&=c^{2}{\mbox{。}}\end{aligned}}$

歐幾里得嘅證法

《幾何原本》入面嘅證明

喺歐幾里得嘅《幾何原本》一書中畀出畢氏定理嘅以下證明。設 $\triangle ABC$ 為一個直角三角形，其中 $A$ 係直角。由 $A$ 點劃一直線至對邊，令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二，佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。

喺定理嘅證明中，需要以下四個輔助定理：

• 如果兩個三角形有兩組對應邊而呢兩組邊嘅夾角相等，兩個三角形就係全等（SAS定理）。
• 三角形面積係同底同高嘅平行四邊形面積嘅一半。
• 任意一個正方形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。
• 任意一個矩形嘅面積等於佢兩邊長嘅積（據輔助定理3）。

證明嘅思路係：將上方嘅兩個正方形，透過等高同底嘅三角形，以佢嘅面積關係，轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。

證明輔助圖2

證明如下：

1. 設 $\triangle ABC$ 為一個直角三角形，直角係 $\angle CAB$。
2. 個邊分別係 $BC$、$AB$ 同埋 $CA$，依次序畫成正方形 $CBDE$、$BAGF$ 同 $ACIH$。
3. 畫出穿過 $A$ 點嘅 $BD$、$CE$ 嘅平行線。條線會分別同 $BC$ 同 $DE$ 喺 $K$、$L$ 直角相交。
4. 分別連接 $CF$、$AD$，形成兩個三角形 $\triangle BCF$、$\triangle BDA$。
5. $\angle CAB$ 同 $\angle BAG$ 都係直角，因此 $C$、$A$ 同 $G$ 都係線性對應嘅，$B$、$A$ 同 $H$ 都係一樣。
6. $\angle CBD$ 同 $\angle FBA$ 都係直角，所以 $\angle ABD$ 等於 $\angle FBC$。
7. 因為 $AB$ 同 $BD$ 分別等於 $FB$ 同 $BC$，所以 $\triangle ABD$ 一定同 $\triangle FBC$ 相等。
8. 因為 $A$、$K$ 同 $L$ 成同一直綫，所以四邊形 $BDLK$ 面積係 $\triangle ABD$ 兩倍。
9. 因為 $C$、$A$ 同 $G$ 成同一直綫，所以正方形 $BAGF$ 面積係 $\triangle FBC$ 兩倍。
10. 因此，四邊形 $BDLK$ 嘅面積必定等如 $BAGF$ $=AB^{2}$。
11. 同埋，四邊形 $CKLE$ 嘅面積必定等如 $ACIH$ $=AC^{2}$。
12. 將呢兩個結果相加，$AB^{2}+AC^{2}=BD\times BK+KL\times KC$
13. 由於 $BD=KL$，$BD\times BK+KL\times KC=BD(BK+KC)=BD\times BC$
14. 由於 $CBDE$ 係正方形，因此 $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$。

呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅。

由於呢個定理嘅證明要靠平行公理，而且由呢個定理可以推出平行公理，好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅非歐幾里得幾何出現。

圖形重新排列證法

呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係 $(a+b)^{2}$。將四個相等嘅三角形移除之後，左邊剩底嘅面積就係 $a^{2}+b^{2}$，右邊剩底嘅面積係 $c^{2}$，兩者相等。

以重新排列法證明

另一種重新排列法證明

更加複雜嘅重新排列法

畢氏定理嘅逆定理

畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法，其中 $AB=c$ 係最長邊：

• 如果 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\triangle ABC$ 係直角三角形。
• 如果 $a^{2}+b^{2}>c^{2}$，$\triangle ABC$ 係銳角三角形。
• 如果 $a^{2}+b^{2}<c^{2}$，$\triangle ABC$ 係鈍角三角形。

高維空間嘅畢氏定理

n維空間中，s係各直角邊，r係斜邊：

$\sum _{k=1}^{n}s_{k}^{2}=r^{2}$

即係

$s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}+...+s_{n}^{2}=r^{2}$

睇埋

• 餘弦定理(cos low)

睇埋

• 倒數畢氏定理
• 歐幾里得距離