繩嘅振動

當正弦波經過一條繩嘅時候，條繩上面每一點都會進行簡諧振動，然後條繩就可以產生音調。但係，有一條更加重要嘅公式，係關於嗰條正弦波嘅波速。假設嗰條繩嘅（水平）張力係 $T$ ，每單位長度嘅質量係 $\mu$ ，咁經過嗰條繩嘅正弦波嘅波速 $v$ 係：

$v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}$

證明

睇下右面嘅圖。假設攞一橛好短嘅線段（咁樣成橛繩都可以當做同一個粒子），水平嚟計嘅長度係 $dx$ （或者可以寫做 $\Delta x$ ，參考差動）。

考慮響距離 $x$ 呢度嘅斜率，同埋力嘅分解，得到：

$\tan \alpha ={\frac {T_{1}\sin \alpha }{T_{1}\cos \alpha }}=\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x,t)}$

考慮響距離 $x+dx$ 呢度嘅斜率，同埋力嘅分解，得到：

$\tan \beta ={\frac {T_{2}\sin \beta }{T_{2}\cos \beta }}=\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x+dx,t)}$

但係，根據波嘅定義，因為波嘅其中一個特性係剩係會傳播能量，而唔會傳播任何物質，所以係條波經過嘅地方，每一個粒子都只會上下咁振，而永遠唔會有水平方向嘅位移，再根據牛頓第一定律，得到：

$T_{1}\cos \alpha =T_{2}\cos \beta =T$

於是，就可以得到：

$T_{1}\sin \alpha =T\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x,t)}$

$T_{2}\sin \beta =T\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x+dx,t)}$

考慮垂直方向嘅淨力：

$F_{net}=T_{2}\sin \beta -T_{1}\sin \alpha =T(\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x+dx,t)}-\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x,t)})=T(y_{x}(x+dx,t)-y_{x}(x,t))$

只不過，根據牛頓第二定律：

$F_{net}=ma=\mu dx{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$

於是：

$T(y_{x}(x+dx,t)-y_{x}(x,t))=\mu dx{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$

${\frac {y_{x}(x+dx,t)-y_{x}(x,t)}{dx}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$

左邊嗰嚿嘢其實係二階偏導數 $y_{xx}$ ，即係 ${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$ 。得到：

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$

而根據波動方程， ${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$ 。所以：

${\frac {1}{v^{2}}}={\frac {\mu }{T}}$

經過整理，得到 $v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}$ 。

如果想要嚴格啲嘅證明，可以用正弦波嘅函數表示公式：

$y=A\sin(kx-\omega t+\phi )$

咁樣以上得到嘅偏微分方程就會變成：

$-k^{2}A\sin(kx-\omega t+\phi )=-{\frac {\mu }{T}}\omega ^{2}A\sin(kx-\omega t+\phi )$

約走個正弦波函數表示公式再執靚佢，得到：

${\frac {\omega ^{2}}{k^{2}}}={\frac {T}{\mu }}$

但係因為 ${\frac {\omega }{k}}=v$ ，所以條式變咗：

$v^{2}={\frac {T}{\mu }}$

所以， $v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}$ 。

出面網頁

波動方程同埋波速