「錯排問題」係組合數學 入邊嘅一個問題。考慮一個有 n 個元素嘅排列 ，如果一個排列當中所有嘅元素都唔喺自己原本嘅位置上嘅話，咁呢種排列就叫做原排列嘅一個「錯排」。 n 個元素嘅錯排數記做 !n 。研究一個排列錯排個數嘅問題，就叫做「錯排問題」或者叫「更列問題」。
最早研究錯排問題嘅有尼古拉·伯努利 同歐拉 ，因此歷史上都叫做伯努利-歐拉嘅「裝錯信封問題」。呢個問題有好多具體嘅版本，例如寫信嗰陣將 n 封信裝入 n 個唔同嘅信封裡面，有幾多種全部裝錯信封嘅情況？又例如四個人各自寫一張賀年卡互相送禮，有幾多種送禮嘅方法？自己寫嘅賀年卡唔可以送比自己，所以都係典型嘅錯排問題。
錯排 喺全排列 中嘅機率 係趨於
1
e
{\displaystyle {\frac {1}{e}}}
!
n
=
⌊
n
!
e
⌉
{\displaystyle !n=\left\lfloor {\frac {n!}{e}}\right\rceil }
簡單證明 [ 編輯 ] 呢個問題可以用一句說話嚟簡單形容：「n 樣嘢均勻隨機調位，啱啱好 0 個命中自己嘅機率」。
假設 n 足夠大，咁每樣嘢命中返自己嘅機率都趨向
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
1
−
1
n
{\displaystyle 1-{\frac {1}{n}}}
所以 n 樣嘢都唔命中自己嘅機率就趨向
(
1
−
1
n
)
n
{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
而根據 e 嘅定義，可以得出
lim
n
→
∞
(
1
−
1
n
)
n
=
1
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}}
所以「n 樣嘢均勻隨機調位，啱啱好 0 個命中自己嘅機率」趨向
1
e
{\displaystyle {\frac {1}{e}}}
延伸問題 [ 編輯 ] 咁可以延伸出另一個問題，就係：「n 樣嘢均勻隨機調位，啱啱好 k 個命中自己嘅機率」。
因為除咗命中自己嗰 k 個之外，其他全部都唔可以命中自己，上面已經證明咗，唔命中自己嗰啲嘅機率趨向
1
e
{\displaystyle {\frac {1}{e}}}
而命中自己嗰 k 個一定唔可以調位置，因為本來命中，掉咗位置就會變成唔命中，即係乘多咗
k
!
{\displaystyle k!}
所以「n 樣嘢均勻隨機調位，啱啱好 k 個命中自己嘅機率」趨向
1
k
!
⋅
e
{\displaystyle {\frac {1}{k!\cdot e}}}
特別嘅情況係，當 k = n 時：
好明顯只有一種情況會全部命中自己，機率係
1
n
!
{\displaystyle {\frac {1}{n!}}}
當 k = n - 1 時：
因為 n - 1 個都命中自己，淨返嗰 1 個一定會命中自己，所以機率係
0
{\displaystyle 0}
驗算機率總和係咪等於 1 。假設 n 好大，咁機率總和就係：
∑
k
=
0
∞
1
k
!
⋅
e
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!\cdot e}}}
=
1
e
⋅
∑
k
=
0
∞
1
k
!
{\displaystyle ={\frac {1}{e}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}
=
1
e
⋅
e
{\displaystyle ={\frac {1}{e}}\cdot e}
=
1
{\displaystyle =1}
