無窮盡

出自維基百科,自由嘅百科全書
(由無窮大跳轉過來)
Jump to navigation Jump to search
數學
基本

延伸

其他

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = 
無窮大量 

無窮盡,亦即無窮,亦即無盡無窮無盡,搵唔到盡頭嘅意思。數學而言,亦有無限大嘅講法,符號拉丁文infinitas,英文叫infinity,即係冇邊界咁解,即係無限。然而,無限大只係數學其中一種無窮盡。

同義字,就係去到,去到。無窮無盡,就係唔會,搵唔到絕,搵唔到尾。古時會諗到一啲問題,諸如一支斬開一半,半枝又再斬開一半,如此下去,幾時到盡呢。又或者,開天辟地每日升高一倍,如此下去,係咪高到無盡呢。咁就係無窮盡嘅概念

無窮盡喺神學哲學數學同埋日常生活中,有唔同嘅概念,通常唔涉及更加技術層面嘅定義。探求無窮盡,亦即探求宇宙微觀世界本質,亦係物理學嘅範疇。

神學而言,會探討無窮盡。如神學家東斯歌德(Duns Scotus)寫著作有講,上帝嘅無限能量係運用喺無約束上,而唔係運用喺無限量上。喺哲學方面,無窮可以歸因於空間同埋時間。喺神學同埋哲學兩方面,無窮又作為無限,好多文章都探討過無限、絕對、上帝同埋芝諾悖論等嘅問題。

數學而言,無窮盡同埋以下嘅主題或概念相關:數學嘅極限阿列夫數集合論中嘅、戴德金-無限群、羅素悖論、超實數、射影幾何擴展嘅實數軸同埋絕對無限。喺一啲主題或概念中,無窮係一個超越邊界而增加嘅概念,而唔係一個數。

大眾文化,亦中意用無窮盡,如《反斗奇兵》入面巴斯光年嘅口頭禪:「To infinity and beyond!」(到達無窮,超越無窮),呢句睇成研究大型基數集合論者嘅吶喊都得。

文學中亦有,如楚辭寫,「道可受兮而不可傳,其小無內兮其大無垠。」無垠,可以大到無邊。如長恨歌,「此恨綿綿無絕期」,就係時間上嘅無窮盡。無垠無邊無絕無疆,都係無窮盡嘅諗法。

[編輯]

上古睇無窮盡[編輯]

印度[編輯]

最早無窮盡嘅記載,見於印度夜柔吠陀(西元前1200-900)。書中話:「若果你由無限移走或添加一部分,剩低嘅都係無限。」

印度耆那教嘅經書《Surya Prajnapti》(c. 400 BC)將數分作三類:「計到嘅」、「計唔到嘅」同埋「無限」。每一類再細分作三序分:

  • 計到嘅:小嘅、中嘅同埋大嘅。
  • 計唔到嘅:接近冇得計嘅、真正冇得計嘅同埋計無可計嘅。
  • 無限:接近無限、真正無限同埋無窮無盡。

希臘[編輯]

現代科學家解析古代羊皮卷中嘅阿基米德手稿,喺殘卷《方法》命題十四中,發現阿基米德開始計算無窮大嘅數目。佢採取近似於十九世紀微積分同埋集合論嘅手法,計算咗兩組無窮大嘅集合,以求同埋嘅方法,證明佢哋之間嘅數目係相等嘅。

呢樣喺人類記載上第一次出現無限都可以分類呢一個念頭。

文藝復興時代到近代[編輯]

伽利略最先發現一個集合同佢自己嘅正適子集可以有相同大細。

佢用上一一對應嘅概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}同子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就係1→1、2→4、3→9、4→16、…

一一對應正係用於研究無限必要嘅手法。

神學[編輯]

人眼中嘅無限喺上帝眼中都係有限,人無法理解上帝嘅無限,因為上帝冇允許人跨越過上帝嘅知識範圍。

數學[編輯]

對於無限有以下解釋或定義:

「無限唔係指邊界外就冇嘢,而係指邊界外永遠有另一個邊界存在。」

實分析[編輯]

實分析中,符號 稱為「無窮」,代表無界極限 表示 超過任何一個數, 表示 最終細過任何一個數。標記為 同埋 嘅點加入到實數組成嘅拓撲空間,就產生實數集嘅「兩點緊致化」。再加入代數屬性,就可以得到超實數。亦可以將 同埋 作為一個點,並得到實數嘅「一點緊致化」,亦即係實射影線射影幾何喺平面幾何上引入無窮遠線,喺高維上亦有類似概念。

無窮大無窮小[編輯]

一般講無窮指嘅都係無窮大,但係無窮小亦係一種無窮。通過 嘅映射即可以將無窮大映射為無窮細。喺微積分中,常用高階無窮小嘅概念。

無窮遠點[編輯]

無窮遠點係一個加喺實數軸上後得到實射影直線嘅點。可理解為實數軸上面 倒數嘅位置。

集合論[編輯]

集合論中對無窮有不同嘅定義。德國數學家康托爾提出,對應於唔同無窮集合嘅元素嘅個數(基數),有唔同嘅「無窮」。

呢度比較唔同嘅無窮嘅「大細」嘅時候唯一嘅辦法就係通過可唔可以建立「一一對應關係」來判斷,而拋棄歐幾里得「整體大於部分」嘅看法。例如整數集同埋自然數集由於可以建立一一對應嘅關係,佢哋就具有相同嘅無窮基數

例如,

  • 可數集合,好似自然數集整數集乃至有理數集對應嘅基數被定義為阿列夫0()。
  • 比可數集合「大」嘅稱之為不可數集合,好似實數集,佢嘅基數同埋自然數嘅冪集相同()。
  • 由於一個無窮集合嘅冪集總係具有比佢本身更高嘅基數,所以通過構造一系列嘅冪集,可以證明無窮嘅基數嘅個數係無窮嘅。然而,無窮基數嘅個數比任何基數都多,從而佢係一個比任何無窮大都要大嘅「無窮大」,佢唔可以對應於一個基數,否則會產生康托爾悖論嘅一種形式。

虛數形式標記[編輯]

無窮係自然科學理論同埋現象描述中嘅重要概念同埋思想,假設:

通過Euler公式可以得到:

咁表明 係對負無窮大()予以虛數形式嘅標記[1]

無窮影像[編輯]

被普遍認為嘅「兩塊產生無窮影像」實際上係錯嘅。首先,喺物理學界,速度係有限嘅(大概每秒 300,000,000 米),可以喺鏡上面睇到嘅影像係因為光喺鏡上反射至會出現。但係,光嘅速度有限,因此兩塊鏡產生嘅影像亦會有限,而且影像嘅數目會以一直變慢嘅增長率增加。

參考[編輯]

  1. YAN Kun. Primary annotation of symbol basing on imaginary form about infinity(R).Xi'an Modern Nonlinear Science Applying Institute, 18 March 2009.

睇埋[編輯]