質數定理

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質數定理描述質數嘅大致分佈情況。

質數嘅出現規律一直困惑住數學家。一個個咁睇,質數喺正整數之中嘅出現冇咩規律。但係從總體嚟睇,質數嘅個數竟然有規可循。對正實數x,定義π(x)為唔大過x嘅質數個數。數學家揾到咗一啲函數嚟估計π(x)嘅增長。以下係第一個咁樣嘅估計。

\pi(x)\approx\frac{x}{\ln\,x}

其中ln xx自然對數。上式嘅意思係當x趨近∞,π(x)同x/ln x嘅比值趨近1。但係咁樣唔表示佢哋嘅數值隨住x增大而接近。

下面係對π(x)更好嘅估計:

\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln\,x}}\right),當x 趨近∞。

其中{\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln\,t}對數積分),而關係式右邊第二項係誤差估計,睇大O符號

下面呢個表比較咗π(x),x/ln x同Li(x)嘅大細:

x π(x)[1] π(x) − x / ln x[2] π(x) / (x / ln x) li(x) − π(x)[3] x / π(x)
10 4 −0.3 0.921 2.2 2.500
102 25 3.3 1.151 5.1 4.000
103 168 23 1.161 10 5.952
104 1,229 143 1.132 17 8.137
105 9,592 906 1.104 38 10.425
106 78,498 6,116 1.084 130 12.740
107 664,579 44,158 1.071 339 15.047
108 5,761,455 332,774 1.061 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1.054 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 1.048 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 1.043 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 1.039 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 1.034 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 1.033 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1.031 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 1.029 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 1.027 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 1.025 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 1.024 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 1.023 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 1.022 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1.021 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 1.020 7,250,186,216 51.939

質數定理可以畀出第n個質數pn)嘅漸近估計:

p(n)\sim n\ln\,n.

佢亦都畀出咗從整數中抽到質數嘅概率。從不大於n嘅自然數入面隨機揀一個,佢係質數嘅概率大約係1/ln n

呢個定理嘅式子喺1798年由法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬同比利時數學家Charles Jean de la Vallée-Poussin先後獨立畀出證明。證明用到咗複分析,尤其係黎曼ζ函數

因為黎曼ζ函數同π(x)關係密切,所以關於黎曼ζ函數嘅黎曼猜想數論好重要。一旦猜想獲證,就可以大大咁改進素數定理誤差嘅估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出,假設黎曼猜想成立,以上關係式誤差項嘅估計可以改進為

 \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln\,x\right)

至於大O項嘅常數就重未揾到。

初等證明[編輯]

質數定理有啲初等證明只需用數論嘅方法。第一個初等證明喺1949年由匈牙利數學家保羅·愛多士(Erdős Pál,英文中係Paul Erdős,又譯成保羅·埃爾德什;匈牙利人名係先姓後名嘅)同挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

呢個證明發表之前,有啲數學家唔相信可以揾出唔需要借助艱深數學嘅初等證明。譬如英國數學家哈代就話過:質數定理必須用複分析嚟證明,顯出定理結果嘅「深度」。佢認為淨用實數唔足以解決某啲問題,必須引入複數嚟解決。呢句話係憑感覺講出嚟嘅,覺得有啲方法比起第啲更加高等、犀利,而質數定理嘅初等證明動搖咗呢種論調。Selberg-艾狄胥嘅證明啱好表示,睇似初等嘅組合數學,威力都可以好大。

但係,雖然呢個初等證明淨用到初等嘅辦法,但係佢嘅難度甚至大過用到複分析嘅證明好多。

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