歐幾里得

歐幾里得（約前330年—前275年）係古希臘數學家，《幾何原本》係佢所寫，後世尊佢為「幾何學之父」。佢活躍於托勒密一世時期。直到20世紀早期，《幾何原本》係幾何教學嘅主要教科書。而家所謂嘅歐氏幾何學係由極少數公理推出嘅。

關於歐幾里得嘅生平所知甚少，大部分資料都係嚟自幾個世紀後嘅學者普羅克洛同亞歷山大城的帕普斯。中世紀伊斯蘭數學家曾編造過一個虛構嘅傳記，而中世紀拜占庭帝國同早期文藝復興嘅學者曾經將佢誤認為早期嘅哲學家米加拉的歐幾里得。而家普遍接受歐幾里得係喺亞歷山大度度過佢嘅職業生涯，大約生活喺公元前300年，係柏拉圖嘅學生之後，阿基米德之前。有人猜測歐幾里得曾經喺柏拉圖學院讀書，之後喺穆塞翁教書；佢被認為係將早期雅典嘅柏拉圖傳統與後來亞歷山大嘅傳統連繫起嚟嘅重要人物。

喺《幾何原本》入面，歐幾里得由一小部分公理推導出定理。除咗《幾何原本》之外，佢仲寫咗關於透視學、圓錐曲線、球面幾何、數論同數學證明嚴謹性嘅作品。除咗《幾何原本》之外，歐幾里得仲寫咗光學領域嘅早期重要著作《光學》，以及較少人知嘅作品如《數據》同《天象》。對於《圖形劃分》同《Catoptrics》的作者身份存在疑問。相信佢曾寫過許多失傳嘅作品。

作品

《幾何原本》

内文：歐幾里得嘅幾何原本

一份歐幾里得《幾何原本》嘅紙草殘片，日期約為公元75至125年。喺奧西林庫斯發現，圖表係第二冊第五命題嘅配圖。

歐幾里得最著名嘅作品係佢嘅十三卷巨著《幾何原本》（希臘文：Στοιχεῖα，羅馬拼音：Stoicheia），被認為係佢嘅鉅作。呢部作品大部分內容源自早期數學家，包括克尼多斯嘅歐多克索斯、基奧斯嘅希波克拉底、泰勒斯同泰阿泰德，而其他定理亦喺柏拉圖同亞里士多德嘅著作中有提及。要分辨邊啲係歐幾里得嘅原創工作，邊啲係佢前人嘅成果，係好困難嘅，特別係因為《幾何原本》基本上取代咗更早期而家已經失傳嘅希臘數學著作。古典學者馬庫斯·阿斯珀得出結論話：「睇嚟歐幾里得嘅成就在於將當時公認嘅數學知識系統化咁整理，並補充新證明填補空白」，而歷史學家塞拉菲娜·庫奧莫將之形容為「知識嘅寶庫」。儘管如此，西亞拉羅斯進一步指出：「《幾何原本》結構嚴密，顯示出作者嘅控制力遠超一般編輯。」

《幾何原本》並唔係單單講幾何學，好似有時啲人以為嘅咁。傳統上，佢分為三個主題：平面幾何（第1至6卷）、基礎數論（第7至10卷）同立體幾何（第11至13卷）——不過第5卷（講比例）同第10卷（講無理數線）唔係好啱呢個分類。呢部著作嘅核心係書中散落各處嘅定理。用亞里士多德嘅術語，呢啲定理可以大致分為兩類：「第一原理」同「第二原理」。第一組包括被標為「定義」（希臘文：ὅρος或ὁρισμός）、「公設」（αἴτημα）或「公理」（κοινὴ ἔννοια）嘅陳述；只有第一卷包含公設——後來被稱為公理——同公理。第二組由命題組成，伴隨數學證明同圖表。唔知歐幾里得係咪打算將《幾何原本》當做教科書，但佢嘅表述方式令佢天然就好適合作為教材。整體上，作者嘅語氣保持一般性同中立。

內容

歐幾里得嘅公設同公理

編號	公設
讓我哋假設以下幾點：
可以由任意點畫直線到任意點
可以將有限直線連續延長成直線
可以以任意圓心同半徑畫圓
所有直角都相等
如果一條直線與兩條直線相交，同一側嘅內角和小於兩個直角， 咁呢兩條直線延長後一定會喺呢一側相交
編號	公理
等於同一樣嘢嘅兩樣嘢彼此相等
如果將相等嘅量加到相等嘅量，結果仍然相等
如果從相等嘅量減去相等嘅量，餘數仍然相等
重合嘅東西彼此相等
整體大於部分

睇埋：幾何學基礎

《幾何原本》第一卷係整部著作嘅基礎。佢由20個基本幾何概念嘅定義開始，包括線、角同各種正多邊形。然後歐幾里得提出10個假設（見右表），分為五個公設（公理）同五個公理。呢啲假設旨在為之後所有定理提供邏輯基礎，即係作為公理系統。公理專門講量嘅比較。雖然第1至第4條公設相對直觀，但第5條被稱為平行公設，特別著名。第一卷仲包括48個命題，大致可以分為幾何基本定理同作圖（1-26）、平行線（27-34）、三角形同平行四邊形嘅面積（35-45），以及畢達哥拉斯定理（46-48）。最後一部分包括咗現存最早嘅畢達哥拉斯定理證明，西亞拉羅斯形容為「相當精妙」。

第二卷傳統上被理解為講「希臘幾何代數」，不過自1970年代以嚟呢個說法一直受到激烈爭議；批評者認為呢種說法係不合時宜嘅，因為即使係初期代數嘅基礎都係好多世紀之後嘅事。第二卷嘅範圍更加集中，主要提供咗各種幾何圖形相應嘅代數定理。佢集中討論長方形同正方形嘅面積（見求積法），並引出餘弦定理嘅幾何前身。第三卷主要講圓，而第四卷討論正多邊形，特別係五邊形。第五卷係呢部作品最重要嘅部分之一，介紹咗通常被稱為「一般比例理論」嘅內容。第六卷將「比率理論」應用到平面幾何中。佢幾乎完全建立喺第一個命題之上：「高度相同嘅三角形同平行四邊形，其面積比等於佢哋底邊嘅比。」

五種柏拉圖立體，係立體幾何嘅基本組成部分，喺第11至13卷中有討論

由第7卷開始，數學家本諾·阿特曼指出「歐幾里得重新開始。之前幾卷嘅內容冇再用到。」第7至10卷講數論，第7卷一開始就有22個定義，包括奇偶性、質數同其他算術相關嘅概念。第7卷包括歐幾里得算法，呢個方法可以搵到兩個數嘅最大公因數。第8卷討論等比數列，而第9卷包括而家稱為歐幾里得定理嘅命題，即係話質數有無限多個。喺《幾何原本》入面，第10卷係最大同最複雜嘅一卷，講無理數喺量度方面嘅應用。

最後三卷（11-13卷）主要討論立體幾何。第11卷先列出37個定義，為之後兩卷嘅內容定下基調。雖然佢嘅基礎性質同第1卷相似，但唔同嘅係佢冇公理系統或者公設。第11卷分三個部分：立體幾何（1-19）、立體角（20-23）同平行六面體立體（24-37）。

其他作品

歐幾里得構造正十二面體嘅方法

除咗《幾何原本》之外，歐幾里得仲有最少五部作品流傳到而家。佢哋都遵循同《幾何原本》一樣嘅邏輯結構，包括定義同經過證明嘅命題。

• 《鏡學》講鏡子嘅數學理論，特別係平面鏡同凹面鏡形成嘅影像，不過有時會質疑呢部作品嘅作者身份。
• 《數據》（希臘文：Δεδομένα）係一部比較短嘅文本，講幾何問題中「已知」資訊嘅性質同含義。
• 《論分割》（希臘文：Περὶ Διαιρέσεων）只有部分喺阿拉伯文翻譯中保存落嚟，講幾何圖形點樣分割成兩個或者更多個等份，或者按照指定嘅比例分割。佢包括36個命題，同阿波羅尼烏斯嘅《圓錐曲線論》相似。
• 《光學》（希臘文：Ὀπτικά）係現存最早嘅希臘視覺理論專著。佢包括一個關於幾何光學嘅介紹性討論同透視法嘅基本規則。
• 《天象》（希臘文：Φαινόμενα）係一部講球面天文學嘅專著，希臘文原版仲保存到；佢同皮塔內嘅奧托呂科斯（約公元前310年活躍）寫嘅《論球體運動》好相似。

失傳嘅作品

仲有四部作品好大可能係歐幾里得寫嘅，但已經失傳咗。

• 《圓錐曲線》（希臘文：Κωνικά）係一部四卷本嘅圓錐曲線概論，後來被阿波羅尼烏斯更全面嘅同名作品取代咗。我哋主要從帕普斯嘅記載知道呢部作品嘅存在，佢話阿波羅尼烏斯嘅《圓錐曲線》頭四卷大部分都係基於歐幾里得早期嘅工作。不過，歷史學家亞歷山大·瓊斯（古典學家）對呢個說法表示懷疑，因為證據唔夠充分，而且冇其他資料可以證實帕普斯嘅講法。
• 《僞論》（希臘文：Ψευδάρια；直譯 「謬誤」），根據普羅克洛斯喺（70.1-18）嘅記載，係一本講幾何推理嘅書，目的係教初學者點樣避免常見嘅謬誤。除咗知道佢嘅大致範圍同幾句殘存嘅內容之外，我哋對佢嘅具體內容所知甚少。
• 《引理》（希臘文：Πορίσματα；直譯 「推論」），根據帕普斯同普羅克洛斯嘅記載，可能係一部三卷本嘅著作，大約有200個命題。喺呢個語境中，「引理」唔係指推論，而係指「介乎定理同問題之間嘅第三類命題——目的係發現現有幾何實體嘅特徵，例如搵一個圓嘅中心」。數學家米歇爾·沙勒推測呢啲而家已經失傳嘅命題可能包括同現代截線理論同射影幾何有關嘅內容。
• 《曲面軌跡》（希臘文：Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ）嘅內容基本上係未知嘅，只能根據作品嘅標題作出推測。根據後來嘅記載推測，佢可能討論咗圓錐、圓柱等題目。

疏仕

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文獻

書

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