保西奴-華實斯定理

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保西奴-華實斯定理Bolzano-Weierstrass Theorem)係一條嗚數學分析拓樸學上面都係一條極重要嘅定理。佢係利用到增減數列子數列嘅關係而形成。

個名源自兩個十九世紀數學家Bernard Bolzano同埋Karl Weierstrass,1817年首先由前者證明。

增減子數列存在定理[編輯]

增減數列同子數列嘅關係,就係每一個數列入面都會有一條子數列同時佢係一條增減數列。

證明:

假設數列入面第項係最高點,即係話第項會係數列入面數值最高嗰一個項,之後無一個項係高過佢,即係

即係話,一條數列係遞減數列嘅話,每一點都係最高點。相反,每一點都唔係最高點。

數列只可以分成有無限咁多個最高點,或者得有限咁多個最高點,兩類。

第一類;假設數列係有無限咁多最高點,咁只要揀曬佢嘅最高點出黎,就得出

由此,可以得出一條遞減嘅子數列。

第二類;假設數列係得有限個最高點,咁首先搵曬佢嘅最高點出嚟,

將所有最高點之後嘅一個項叫做

因為唔係最高點,所以之後一定會有一項係大過佢,叫佢做,咁即係

因為唔係最高點,所以之後一定會有一項係大過佢,叫佢做,咁姐係

如此類推,就會得出一個增長嘅子數列。

保西奴-華實斯定理[編輯]

一個被綁定嘅實數列一定會有一個子數列係趨向一點。

證明一[編輯]

因為增減子數列存在定理,所以數列一定會有一條增減子數列。

假設左數列係被綁定,因此佢嘅增減子數列都一定係被綁定。

利用增減趨向定理,咁呢條增減子數列一定趨向一點。

證明二[編輯]

需要利用套間證明。

因為數列係被綁定,咁佢一定有一個最小上界限最大下界限,即係同埋

組成一個間距

,然後將斬開兩等分,即係。而將大過一嘅項數分開做,

咁明顯,其中一面或者係有無限咁多點。假設係有無限咁多點,

定義為入面項數最細嗰一項。即係入面有,咁

,之後再將斬開兩等分,即係。而再將嘅數分開,

同樣原理,咁其中一面或者係有無限咁多點。假設係有無限咁多點,

定義為入面項數最細嗰一項。

如似類推,就會有一個套間。而同時,佢嘅子數列都會有項係喺第嘅間距入面。姐係

同時,因為每次都將個間距等分兩份,所以間距嘅長度就會係

利用套間定理,得知有一個點係喺所有嘅間距入面,即係

因為都係喺入面,所以可以知道

因為變到好大嘅時候,可變成任意嘅數。

所以,

推論[編輯]

如果一條數列係被綁定,而佢嘅所有子數列都係趨向一點,咁呢條數列係趨向同一點

睇埋[編輯]