極限 (函數)

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函數極限(Limit of Function)係數學分析微積分入面其中一個好重要嘅概念。喺呢個範疇入面,定義函數極限係需要用到包圍點同埋技巧。

包圍點[編輯]

定義[編輯]

首先需要假設係實數嘅子集。

定為任意一點,畀任何一個,如果存在一點,同時,符合

咁呢點就係叫做包圍點(Cluster Point)。

如果用鄰區(neighborhoods)嘅角度嚟定義包圍點;

假設有一點,每一個鄰區(delta-neighborhoods),入面都會有一點係屬於嘅,係唔等於。咁就係嘅包圍點。

性質[編輯]

如果嘅包圍點,咁就一定有一個係嘅數列係趨向呢點,同時所有嘅項都符合,即係。反之亦然,「」。

函數極限[編輯]

定義[編輯]

首先需要假設係實數嘅子集,同時嘅包圍點。

如果有一個函數同一點實數,同下面呢件事成立;

畀任何嘅,佢都會有一個對應嘅,令到喺入面嘅點符合,而佢使到

咁樣函數就係趨向(Converge)實數。即係

一般就叫,點嘅極限(Limits of at

或者會話:「當接近嗰時,會趨向。」,呢句嘢會寫做

技巧[編輯]

技巧 Technique)係利用定義求函數極限嘅技巧。喺數學分析入面,最基本,同時對於新學習數學嘅人嚟講,係最複雜嘅概念之一。佢寫一個證明之前,需要用到一個草稿技巧,去搵出所需要嘅。係一定需要一個先草稿,後證明嘅方法,呢個方法嘅概念係類似「搬龍門」。利用技巧去證明其他函數極限嘅定理,會被稱為用硬功夫嘅方法。

例子:

證明




獨有極限性質[編輯]

假設有一個函數。如果有一點包圍點,咁佢只有一個係點嘅極限。

證明:

假設有兩點都符合極限嘅定義。

咁畀任何嘅

都會有一個,令到符合,令到

同時,都會有一個,令到符合,令到

,令到符合

再利用三角形不等式

函數數列要求[編輯]

函數同數列有一個重要嘅連繫,而呢個連繫係可以同一條定理概括咗佢,就係函數數列要求(Sequential Criterion for Limits)。呢個定理,可以將數列既全部特性,主要係數列極限嘅特性,轉移到函數極限上面。最方便嘅用途就係證明函數限極計算嘅方法。利用呢條定理去證明函數其他有關嘅定理,會叫做利用軟功夫嘅方法。

定理

假設有一個函數同時嘅包圍點。咁以下兩句係等價「」:

  • 任何喺入面嘅數列,佢係趨向呢點,而同時所有嘅都係,咁呢條數列就會趨向

證明:



極限計算[編輯]

因為有咗函數數列要求,喺數列入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。

綁定定義[編輯]

假設有個實子集同一個函數。假設嘅包圍點。

如果存在一個鄰區,同埋一個數,對所有嘅符合,

咁會話,函數嘅鄰區被綁定。(f is bounded on a neighborhood of c)

綁定性質[編輯]

假設有個實子集同一個函數

如果係趨向呢點,咁就會被綁係一啲嘅嘅鄰區入面。

證明:

證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。


極限計算法則[編輯]

基本上,同數列嘅法則係一樣。

假設有個實子集,函數,重有一個實數係包圍點。如果,以下嘅等式成立:

  1. 如果,而所有嘅,同時,咁

證明:

利用軟功夫,只需要將變成任何一條喺入面嘅數列,符合,而

因為函數數列要求,成立。

之後利用數列極限嘅計算法,就會得出上面結果。

利用硬功夫嘅方法,因為定義得知,對應任何

都會有,令到符合,使到符合。

都會有,令到符合,使到符合。




證明三,需要用到草稿嘅技巧。





證明五,需要證明「如果,而所有嘅,同時,咁。」係啱嘅話呢,利用三就可以證明出五。先做草稿:




推斷[編輯]

因上面嘅嘢可以得知以下都係啱:

排序定理[編輯]

假設有個實子集,函數係包圍點。

如果所有嘅符合同時,咁

證明:

都係利用軟功夫,將數列嘅排序定理引用過嚟。

夾縫定理[編輯]

假設有個實子集,函數係包圍點。

如果所有嘅符合同時,咁

不趨向要求[編輯]

有趨向,就必定有唔趨向。所以係函數數列要求入面可以推斷出到不趨向要求(Divergence Criteria)。

定義[編輯]

首先需要假設係實數嘅子集,同時嘅包圍點,而有一個函數

  1. 如果係喺實數入面嘅一點,咁「唔係趨向,或者唔係嘅極限對應所有嘅同埋,有一條數列趨向,但係唔趨向。」;
  2. 唔係趨向,或者唔係嘅極限對應所有嘅同埋,有一條數列趨向,但係喺入面唔趨向一點。

證明:

(1) 已經從上面證明咗。

(2) 假設有一條數列趨向,但係喺入面唔趨向一點。

咁即係畀任何一個同埋都會成立。

所以唔符合極限嘅定義。

應用[編輯]

係唔存在喺實數入面。

左右趨向[編輯]

將函數極限嘅定義改一改少少,咁就會有左右趨向嘅概念。

定義[編輯]

假設有個實子集,同時有一個函數

如果嘅包圍點,同時有一點符合:

畀任何嘅,都會有一個對應嘅,令到所有嘅符合,令到符合。

咁樣就係右極限(Right-hand Limit of at )。

一般會寫做,或者

如果嘅包圍點,同時有一點符合:

畀任何嘅,都會有一個對應嘅,令到所有嘅符合,令到符合。

咁樣就係左極限(Left-hand Limit of at

一般會寫做,或者

注意:左極限同右極限可以同時存在,又可以兩者都唔相等。左極限可以存在,但右極限係可以唔存在。如果左極限等於右極限,咁

函數數列要求[編輯]

因為有極限,所有就會有數列要求嘅出現。

右極限版本:

假設有一個函數同時嘅包圍點。咁以下兩句係等價「」:

  • 任何喺入面嘅數列,佢係趨向呢點,而同時所有嘅都係,咁呢條數列就會趨向

左極限版本:

假設有一個函數同時嘅包圍點。咁以下兩句係等價「」:

  • 任何喺入面嘅數列,佢係趨向呢點,而同時所有嘅都係,咁呢條數列就會趨向

趨向無限[編輯]

趨向無限有兩個定義,一個就係嘅數值趨向無限。例子有:。或者係當數值趨向無限時,嘅數值會趨向一點。例子有:。 

無窮極限[編輯]

無窮極限(Infinite Limits)就係第一種趨向無限嘅極限。

定義[編輯]

假設有一個實子集,函數,同時嘅包圍點。

如果畀任何,一定存在一個,令到所有嘅符合,到會令到嘅話;

趨向嘅極限係正無限(f tends to as )。

一般會寫成

如果畀任何,一定存在一個,令到所有嘅符合,到會令到嘅話呢;

趨向嘅極限係負無限(f tends to as )。

一般會寫成

例子[編輯]

證明

畀任何一個,設

假設,咁樣

符合條件嘅,其實可以利用技巧搵出嚟。

無限排序性質[編輯]

假設有一個實子集,函數,同時嘅包圍點。

假設任何嘅同時

如果,咁

如果,咁

左右趨向定義[編輯]

假設有一個實子集,函數,同時既包圍點。

如果畀任何,一定存在一個,令到所有嘅符合,到會令到(對應係)嘅話;

趨向嘅極限係正無限(f tends to as )。

一般會寫成,(對應嘅係)。

趨向無限[編輯]

趨向無限(Limits at Infinity)係第二種趨向無限既極限。

定義

假設有一個實子集,函數

假設對應有啲

畀任何,一定有一個對應任何,使到嘅話;

趨向無限時嘅極限(limit of as )。

一般會寫做或者

函數數列要求

假設有一個實子集,函數

假設對應有啲,咁以下兩句係等價:

  • 任何一條喺入面嘅數列,佢係,咁樣就會趨向

趨向無限嘅無窮極限[編輯]

將上面兩者夾埋,就會得出下面嘅定義。

定義

假設有一個實子集,函數

假設對應有啲

畀任何,一定有一個對應任何,使到嘅話(對應係);

趨向無限時嘅極限係無窮(limit of as )。

一般會寫做或者。(對應係