李羣

喺數學入面，一個李羣（以Sophus Lie命名）係一個實或者複可微流形，佢同時係一個群，而且群嘅運算（乘法同逆元）都係可微函數。李羣呢個概念對物理、幾何同數學分析都好重要，因爲佢可以描述「無限細嘅」對稱。李羣係喺1870年由Sophus Lie定義嘅，用嚟研究微分方程嘅對稱性。

雖然歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 係一個實李羣（用向量加法作爲群嘅運算），但係典型嘅李羣例子係一啲可逆矩陣群，例如 SO(3)，由三維空間入面嘅旋轉組成。下面有更多李羣嘅例子。

分類

我哋可以用代數性質將李羣分類，例如簡單、半簡單、可解、零冪、阿貝爾等等，或者用拓撲性質，例如連通同緊緻。

同態同同構

如果 G 同 H 係李羣，咁一個李羣同態 $G\to H$ 就係一個群同態，佢同時係一個可微函數（可以證明其實只需要要求佢係連續函數）。李羣同態嘅複合都會係返一個李羣同態，所以李羣同李羣同態形成一個範疇。如果存在一個由 G 去 H 嘅雙射李羣同態，佢嘅反函數都係李羣同態嘅話，我哋就話 G 同 H 係同構嘅。

李羣對應嘅李代數

對每一個李羣，我哋可以幫佢對應一個李代數，呢個李代數可以完全記錄個李羣嘅局部結構。

首先，我哋定義咗左不變向量場先：對任何嘅 $g\in G$ ， $L_{g}(x)=gx$ 係一個由 $G$ 打返去自己到嘅微分同胚，一個向量場 $X$ 符合 $dL_{g}(X)=X$ 就叫做左不變向量場喇。

喺一個可微流形上面，所有向量場組成一個李代數（用李括號），係李羣上面（記得李羣都係一個可微流形），左不變向量場形成咗一個子李代數，呢個就係 G 對應嘅李代數喇，通常會用哥特體嘅 g 嚟表示（ ${\mathfrak {g}}$ ）。呢個李代數 ${\mathfrak {g}}$ 係有限維嘅（事實上，佢嘅維度同流形 G 嘅維度一樣），所以我哋可以嘗試進行分類。分類 ${\mathfrak {g}}$ 對理解 G 都有幫助，李羣同李代數嘅表示論就係例子。

每一個李羣同態 $f:G\to H$ 都會誘導一個李代數同態 ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ ，而 $G\mapsto {\mathfrak {g}}$ 呢個對應其實係一個函子嚟。

對 ${\mathfrak {g}}$ 入面每一個左不變向量場 v 我哋都可以定義一條積分曲線 $c:\mathbb {R} \to G$ ，符合微分方程

c^{\prime }(t)=c(t)v

同埋以下呢個性質：

c(s+t)=c(s)c(t)\quad \forall s,t\in \mathbb {R}

正因爲呢個性質，c 又叫單參數子羣。亦都因爲呢個性質好似指數函數嘅性質，我哋定義

\exp(v)=c(1)

.

呢個指數函數係由李代數 ${\mathfrak {g}}$ 打去李羣 G 嘅一個函數，佢延伸咗好幾個比較爲人熟悉嘅概念：實數上嘅指數函數、複數上嘅指數函數同埋矩陣嘅指數函數，所以呢三個例子 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 、 $M(n,\mathbb {R} )$ 其實都係李代數嚟。

指數函數提供咗一個由 ${\mathfrak {g}}$ 入面 0 嘅鄰域打去 G 入面 e 嘅鄰域嘅可微同胚。由於呢個指數函數係 e 嘅鄰域係滿射，我哋有時會叫李代數入面嘅元素做 G 嘅無限細生成元。事實上，如果 G 係連通嘅話，任何 e 嘅鄰域都生成 G。

根據Baker-Campbell-Hausdorff公式，指數函數同埋李代數結構（啫係個李括號）可以完全決定 G 入面 e 嘅一個鄰域嘅李羣結構：存在一個 ${\mathfrak {g}}$ 入面 0 嘅鄰域 U，使得對任何 $u,v\in U$ ，我哋都有

\exp(u)\exp(v)=\exp(u+v+1/2[u,v]+1/12[[u,v],v]-1/12[[u,v],u]-\dots )

當中每一項嘅系數都可以計到出嚟，同埋每一項都係 u 同 v 嘅李括號嚟。如果 u 同 v 係交換嘅話，條式就變咗我哋熟悉嘅 exp(u) exp(v) = exp(u+v)。

李代數並唔係完全一一對應到一個李羣，可以睇吓下面個表，有啲唔同嘅李羣係有同一個李代數嘅，但係亦有啲李羣嘅性質係可以由佢嘅李代數反映出來，例如簡單、半簡單、可解、零冪同阿貝爾。

如果我哋淨係考慮簡單連通李羣嘅話，李代數同李羣就一一對應喇：任何有限維李羣 ${\mathfrak {g}}$ 都對應住（同構嚟講）唯一一個簡單連通李羣，而且呢個時候我哋可以掉反轉：任何李代數同態 ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ 都可以誘導一個李羣同態 $G\to H$ ，當中 G 同 H 都係簡單連通李羣。

實李羣同對應嘅李代數列表

李羣	描述	註釋	李代數	描述	dim/ $\mathbb {R}$
$\mathbb {R} ^{n}$	歐幾里得空間，向量加法	阿貝爾、簡單連通、唔緊緻	$\mathbb {R} ^{n}$	李括號係零	n
$\mathbb {R} ^{\times }$	非零實數，乘法	阿貝爾、唔連通、唔緊緻	$\mathbb {R}$	李括號係零	1
$\mathbb {R} ^{+}$	正實數，乘法	阿貝爾、簡單連通、唔緊緻	$\mathbb {R}$	李括號係零	1
${\mbox{S}}^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$	模一複數，乘法；同圓形同胚	阿貝爾、連通、唔簡單連通、緊緻	$\mathbb {R}$	李括號係零	1
$\mathbb {H} ^{\times }$	非零四元數，乘法	連通、簡單連通、唔緊緻	$\mathbb {H}$	四元數，李括號係交換子	4
${\mbox{S}}^{3}\,$	模一四元數，乘法；同3-球面同胚	簡單連通、緊緻、簡單、半簡單、同 $SU(2)\;$ 同埋 ${\mbox{Spin}}(3)$ 同構	$\mathbb {R} ^{3}$	3-vectores reales, con el corchete de Lie el producto vectorial; isomorfo a los cuaterniones con parte real cero, 李括號係交換子 también isomorfo a ${\mathfrak {su}}(2)$ y a ${\mathfrak {so}}(3)$	3
$GL(n,\mathbb {R} )$	一般線性羣： $n\times n$ 可逆實矩陣	唔連通、唔緊緻	$M(n,\mathbb {R} )$	matrices reales n-por-n, 李括號係交換子	$n^{2}$
$GL^{+}(n,\mathbb {R} )$	$n\times n$ 可逆實矩陣，行列式係正	連通、唔緊緻	$M(n,\mathbb {R} )$	matrices reales n-por-n, 李括號係交換子	$n^{2}$
$SL(n,\mathbb {R} )$	特別線性羣： $n\times n$ 可逆實矩陣，行列式係 1	連通、唔緊緻、n>1嘅話簡單	${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )$	matrices reales n-por-n, con traza 0, 李括號係交換子	n²-1
$O(n,\mathbb {R} )$	正交羣： $n\times n$ 實正交矩陣	唔連通、緊緻	${\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )$	matrices reales n-por-n, antisimétricas, 李括號係交換子; ${\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )$ es isomorfo a ${\mathfrak {su}}(2,\mathbb {R} )$ y a $\mathbb {R} ^{3}$ con el producto vectorial	n(n-1)/2
$SO(n,\mathbb {R} )$	特別正交羣： $n\times n$ 實正交矩陣，行列式係 1	連通、緊緻、n>1嘅話唔簡單連通、半簡單、n=3或者n ≥5嘅話簡單	${\mathfrak {so}}(n,\mathbb {R} )$	matrices reales n-por-n, antisimétricas, 李括號係交換子	n(n-1)/2
${\mbox{Spin}}(n,\mathbb {R} )$	旋量羣	簡單連通、緊緻、半簡單、n=3或者n ≥5嘅話簡單	${\mathfrak {so}}(n,\mathbb {R} )$	matrices reales n-por-n, antisimétricas, 李括號係交換子	n(n-1)/2
${\mbox{Sp}}(2n,\mathbb {R} )$	grupo simplécticoreal: matrices simplécticas reales	唔緊緻、簡單、半簡單	${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )$	matrices reales que satisfacen JA + A^TJ = 0 donde J es la matriz anti-simétrica estándar	n(2n + 1)
${\mbox{Sp}}(n,\mathbb {R} )$	grupo simpléctico: matrices unitarias n-por-n cuaterniónicas	緊緻、簡單連通、簡單、n>0嘅話半簡單	${\mathfrak {sp}}(n)$	matrices cuaterniónicas cuadradas A satisfaciendo A = −A^*, 李括號係交換子	n(2n + 1)
$U(n)\,$	grupo unitario: matrices complejas n-por-n unitarias	n=1 嘅話同 S¹ 同構，n>0 嘅話唔簡單連通、緊緻。注意：呢個唔係複李羣／複李代數	${\mathfrak {u}}(n)$	matrices complejas n-por-n, que cumplen A = -A^*, 李括號係交換子	n(n-1)/2	n²
$SU(n)\,$	grupo especial unitario: matrices complejas n-por-n unitarias con determinante 1	簡單連通、緊緻、n ≥2嘅話簡單同埋半簡單。注意：呢個唔係複李羣／複李代數	${\mathfrak {su}}(n)$	matrices complejas $n\times n$ , que cumplen A = -A^* con traza 0, 李括號係交換子	n²-1

複李羣同對應李代數列表

李羣	描述	註釋	李代數	描述	dim/ $\mathbb {C}$
Cⁿ	歐幾里得空間，向量加法	阿貝爾、簡單連通、唔緊緻	Cⁿ	李括號係零	n
C^×	非零複數，乘法	阿貝爾、連通、唔簡單連通、唔緊緻	C	李括號係零	1
GL(n, C)	複一般線性羣： $n\times n$ 可逆複矩陣	簡單連通、唔緊緻	M(n, C)	$n\times n$ 複矩陣，李括號係交換子	n²
SL(n, C)	複特別線性羣： $n\times n$ 可逆複矩陣，行列式係 1	簡單、半簡單、n>1嘅話簡單連通、唔緊緻	sl(n, C)	matrices complejas n-por-n, con traza 0, 李括號係交換子	n²-1
O(n, C)	複正交羣： $n\times n$ 複正交矩陣	n>1嘅話唔連通、緊緻	so(n, C)	matrices complejas n-por-n, antisimétricas, 李括號係交換子	n(n-1)/2
SO(n, C)	複特別正交羣： $n\times n$ 複正交矩陣，行列式係 1	連通、唔緊緻、如果 n>1 嘅話唔簡單連通、如果n=3 或者 n ≥5 嘅話簡單同半簡單	so(n, C)	matrices complejas n-por-n, antisimétricas, 李括號係交換子	n(n-1)/2
Sp(2n, C)	grupo simpléctico: matrices simplécticas complejas	唔緊緻、簡單 y 半簡單	sp(2n, C)	matrices complejas que satisfacen JA + A^TJ = 0 donde J es la matriz anti-simétrica estándar	n(2n + 1)

無限維李羣例子

李羣	描述	註釋	李代數	描述	dim/R
$\mathrm {Diff} ({\mathcal {M}})$	${\mathcal {M}}$ 上面嘅可微同胚	唔阿貝爾喺廣義相對論好有用	$\mathrm {Vec} ({\mathcal {M}})$	${\mathcal {M}}$ 上面嘅向量場	$\aleph _{1}$
$\mathrm {SDiff} ({\mathcal {M}})$	${\mathcal {M}}$ 上面保持體積嘅可微同胚	唔阿貝爾喺流體動力學好有用	$\mathrm {SVec} ({\mathcal {M}})$	${\mathcal {M}}$ 上面嘅向量場，而且散度係零	$\aleph _{1}$

攷

Adams, John Frank (1969), Lectures on Lie Groups, Chicago Lectures in Mathematics, Chicago: Univ. of Chicago Press, ISBN 0-226-00527-5.
Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9.
Serre, Jean-Pierre (1965), Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University, Lecture notes in mathematics,第1500卷, Springer, ISBN 3-540-55008-9.
Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010

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