圓形函數

喺微分拓樸學入面，圓形函數（英文：round function）係一個由流形$M$打去實數集$\mathbb {R}$嘅函數，佢嘅臨界點（critical point）形成一個個連通嘅集合，每一個都同圓形$S^{1}$同胚，呢啲圓形又叫做臨界環（critical loop）。圓形函數係Morse-Bott函數嘅一種。

例子

黑色嗰個圓係其中一個臨界環，另一個喺下低。

例如假設$M$係一個環面，設

$K=(0,2\pi )\times (0,2\pi )$

噉函數

$X:K\to \mathbb {R} ^{3}$

$X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )$

係一個幾乎覆蓋嗮成個$M$嘅參數化（parametrization）。依家考慮投影函數$\pi _{3}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$限制喺$M$上面，噉就得到

$G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta$

$G$呢個函數嘅臨界點可以用微分嚟搵：

${\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(\cos \theta ,0)=(0,0)$，

即係當且僅當$\theta ={\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}$。

呢兩個$\theta$對應住兩個臨界集，分別係

$X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)$

$X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)$

對應住兩個臨界環，一上一下。

留意，呢個函數嘅Hessian係

${\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}$

並唔係滿階（full rank）嘅，顯示出啲臨界點係退化嘅，即係話，唔係孤立點。

圓形複雜度

模仿返Lusternik–Schnirelmann範疇理論，可以定義「圓形複雜度」（round complexity），睇下一個流形$M$上面有冇圓形函數，同埋如果有嘅話最少有幾多個臨界圓。