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圓形函數

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微分拓樸學入面,圓形函數英文round function)係一個由流形打去實數集嘅函數,佢嘅臨界點(critical point)形成一個個連通嘅集合,每一個都同圓形同胚,呢啲圓形又叫做臨界環(critical loop)[1]。圓形函數係Morse-Bott函數嘅一種。

例子[編輯]

黑色嗰個圓係其中一個臨界環,另一個喺下低。

例如假設係一個環面,設

噉函數

係一個幾乎覆蓋嗮成個參數化(parametrization)。依家考慮投影函數限制上面,噉就得到

呢個函數嘅臨界點可以用微分嚟搵:

即係當且僅當

呢兩個對應住兩個臨界集,分別係

對應住兩個臨界環,一上一下。

留意,呢個函數嘅Hessian

並唔係滿階(full rank)嘅,顯示出啲臨界點係退化嘅,即係話,唔係孤立點。

圓形複雜度[編輯]

模仿返Lusternik–Schnirelmann範疇理論,可以定義「圓形複雜度」(round complexity),睇下一個流形上面有冇圓形函數,同埋如果有嘅話最少有幾多個臨界圓。

參考[編輯]

  1. Khimshiashvili and Siersma, Remarks on Minimal Round Functions