拓撲學家正弦曲線

喺拓撲學裏面，有一個拓撲空間嘅叫做拓撲學正弦曲線（英文：topologist's sine curve，又叫華沙正弦曲線，Warsaw sine curve）。呢個空間嘅定義係：

T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}

，

喺上面攞歐幾里得平面嘅子集拓撲。個集合亦都可以睇做 $\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ 呢個函數喺(0，1]區間上面嘅圖像再加上原點一點。

佢有好幾個特別嘅性質，令佢成為一個「教科書例子」，例如喺好出名嘅《拓撲學反例》入面就可以搵到佢^[1]。

特性

$T$ 呢條曲線有啲好特別嘅性質。例如，雖然呢條曲線係連通嘅，但係佢既唔係局部連通，又唔係道路連通嘅。咁係因為條曲線包含原點，但係曲線入面嘅任何其他點都畫唔到一條路徑連去原點。

$T$ 係一個局部緊緻空間嘅連續影像，咁係因為可以設 $V=\{-1\}\cup (0,1]$ （攞標準拓撲）， $f:V\to T$ ， $f(-1)=(0,0),f(x)=\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right)$ 對於 $x>0$ ，但係 $T$ 自己唔係局部緊緻嘅。

$T$ 嘅拓撲維度係 $1$ 。

變體

拓樸學家正弦曲線仲有兩個變體，佢哋都有啲特別嘅性質。

拎住條拓樸學家正弦曲線，加埋佢啲極限點 $\{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}$ 入去，就係封閉拓樸學家正弦曲線，不過要留意有書講嘅「拓樸學家正弦曲線」已經係呢條封閉嘅版本，而佢口中嘅「封閉拓樸學家正弦曲線」就係另一個空間嚟^[2]。呢個空間喺 $\mathbb {R} ^{2}$ 平面入面係有界封閉嘅，所以根據Heine-Borel 定理佢係一個緊緻空間。但係佢同拓樸學家正弦曲線一樣，係連通但係唔路徑連通、唔局部連通嘅。

另外仲可以定義一個延伸拓樸學家正弦曲線，係攞條封閉拓樸學家正弦曲線再加上 $\{(x,1)\mid x\in [0,1]\}$ ，呢個空間係arc連通嘅，但係唔局部連通。

睇埋

華沙圓形
梳空間，連通、路徑連通，但係唔係局部路徑連通

參考資料

↑ Steen, Lynn Arthur (1970). Counterexamples in topology. J. Arthur Seebach. New York: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0-03-079485-4. OCLC 88172.
↑ Munkres, James R (1979). Topology; a First Course. Englewood Cliffs. p. 158. ISBN 9780139254956.

Weisstein, Eric W., "Topologist's Sine Curve" - MathWorld.（英文）

[1] Steen, Lynn Arthur (1970). Counterexamples in topology. J. Arthur Seebach. New York: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0-03-079485-4. OCLC 88172.

[2] Munkres, James R (1979). Topology; a First Course. Englewood Cliffs. p. 158. ISBN 9780139254956.

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