有序場

有序場（英文：ordered field）係數學入面一個重要嘅概念，係一個同時具備場結構同全序關係嘅集合。簡單嚟講，一個有序場係一個集合，裏面有加法、乘法同一個序關係（通常寫做「小於或等於」：$\leq$），而且呢啲運算同序關係之間要「相容」。有序場喺數學分析、序理論同其他數學分支有廣泛應用，實數同有理數都係有序場嘅經典例子。

定義

一個有序場係一個集合 $F$，配備咗兩個運算（加法 $+$ 同乘法 $\cdot$）同一個全序關係 $\leq$，滿足以下條件：

1. 場嘅性質： $(F,+,\cdot )$ 係一個場，即滿足：

• 加法同乘法係結合律同交換律；
• 有加法單位元（0）同乘法單位元（1）；
• 每個元素有加法逆元（相反數），每個非零元素有乘法逆元（倒數）；
• 乘法對加法有分配律。

2. 全序關係： $\leq$ 係一個全序關係，即對任何 $a,b,c\in F$：

• 自反性： $a\leq a$；
• 反對稱性：如果 $a\leq b$ 而且 $b\leq a$，則 $a=b$；
• 傳遞性：如果 $a\leq b$ 而且 $b\leq c$，則 $a\leq c$；
• 全序：對任何 $a,b\in F$，一定有 $a\leq b$ 或 $b\leq a$。

3. 序同運算嘅相容性：

• 如果 $a\leq b$，則對任何 $c\in F$，有 $a+c\leq b+c$；
• 如果 $a\leq b$ 而且 $0\leq c$，則 $a\cdot c\leq b\cdot c$。

呢啲性質確保有序場入面嘅序關係同代數運算可以和諧共存，方便用來研究數值嘅大小同運算。

性質

有序場有以下重要性質：

• 正數同負數：喺一個有序場入面，可以定義正數集合 $P=\{x\in F\mid 0<x\}$。正數滿足：
  • 如果 $a,b\in P$，則 $a+b\in P$ 同 $a\cdot b\in P$；
  • 對任何非零 $a\in F$，$a\in P$ 或 $-a\in P$，但唔會兩者同時成立。
• 無平方等於負數：喺有序場入面，任何非零元素嘅平方都係正數，即如果 $a\neq 0$，則 $a^{2}>0$。呢個性質令到有序場唔可以包含複數嘅結構。
• 絕對值：可以定義絕對值 $|a|=\max(a,-a)$，用來量度元素嘅「大細」。
• 完備性：有序場唔一定係完備有序場（即每個非空有上界嘅子集都有最小上界）。例如，實數係完備有序場，但有理數唔係。

例子

以下係一啲常見嘅有序場例子：

1. 有理數 $\mathbb {Q}$：
   • 有理數集合配備標準嘅加法、乘法同大細關係（$\leq$）係一個有序場。
   • 但有理數唔係完備嘅，例如 $\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}$ 有上界但係無最小上界。
2. 實數 $\mathbb {R}$：
   • 實數係一個完備有序場，滿足所有有序場性質同完備性公理。
   • 實數係數學分析嘅基礎，例如用來定義連續性同極限。
3. 超實數 ${}^{*}\mathbb {R}$：
   • 喺非標準分析入面，超實數係一個有序場，包含實數同無窮大、無窮小等元素。
   • 佢保持咗實數嘅序同運算性質，但結構更複雜。
4. 有限域無可能係有序場：
   • 有限域（例如 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$）唔可以係有序場，因為喺入面有$0=\underbrace {1+1+\cdots +1} _{p}$呢條式，導致佢哋嘅序關係會同場運算產生矛盾。

應用

有序場喺數學同相關領域有廣泛應用：

• 數學分析：實數作為完備有序場，係微積分同連續函數嘅基礎。例如，中值定理同極值定理都依賴實數嘅完備性。
• 序理論：有序場提供一個框架去研究序關係同代數結構嘅交互作用，例如喺線性代數入面研究有序向量空間。

歷史背景

有序場嘅概念源自19世紀嘅數學發展，特別係喺實數嘅嚴格定義同數學分析嘅形式化。數學家例如戴德金（Richard Dedekind）同康托爾（Georg Cantor）透過戴德金分割同集合論，確立咗實數作為完備有序場嘅地位。喺20世紀，抽象代數嘅興起將有序場同其他代數結構（例如環同域）連繫起來，進一步豐富咗呢個概念。

睇埋

• 場：有序場嘅基礎代數結構。
• 完備有序場：有埋完備性嘅有序場，實數集係一個例子。
• 全序集：有序場嘅序關係基礎。
• 實數：重要嘅有序場例子。

參考資料

• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (英文). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Lang, Serge (2002). Algebra (英文). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4.

外部連結

• ProofWiki - Ordered Field