龐加萊猜想

問題

Jules Henri Poincare喺1904年嘅猜想：

• 任何一個三維流形，如果佢嘅所有同倫群都同三維球面嘅同倫群無分別（第一同第二個同倫群都要係零），咁佢就同三維球面同胚 -- 即係係拓撲學上冇分別。

阿 Jules Henri 本係1900年希望同調群零（唔使同倫群零，一個弱啲嘅條件）就夠， 但佢自己好快發現咗個反例 -- 著名嘅龐加萊同調球（又叫正十二面體空間）。

問題可簡化成

• 任何一個三維流形，如果佢係一個單連通流形（即渠上面所有閉曲線都可縮成一點），咁佢就同三維球面同胚。

龐加萊猜想難係邊道?

可能因為條問題太簡單，所以難入手。 雖然佢嘅高維數姐妹題， 分別由兩位天才 Stephen Smale（五維以上，1960's） 同Michael Freedman（四維，1982）解決；但係嗰的方法喺三維行唔通。（想知詳情嘅讀者可問一問丘成桐教授）

William Thurston出場：三維流形幾何化構想

1970年代，William Thurston 提出：任何一個三維流形都可以被切成幾舊，每舊都屬於佢指定嘅八種類型幾何之一。

龐加萊猜想係幾何化構想嘅特例；（Geometrization Conjecture => Poincare's Conjecture）。

Richard Hamilton出場: Ricci 流

$\partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}$

Hamilton 嘅構想唔太難理解。佢要個三維流形嘅度量 gij 沿一特定方向變化 （即係 Ricci 流; "Ricci" 指Ricci張量 Rij；可變量 t 係「時間」），嘗試令到個三維流形平平均均，睇渠到極限時變成點樣。但一邊平另一邊又可能會突起，所以中途可能會產生 奇異集 （singularity），咁就要切開佢。到最後， 你會得到三維流形嘅自然分解，實現 Thurston 嘅構想.

但實行起來就有好多技術問題，例如：中途會產生邊種奇異集? 點樣控制? 想知詳情嘅讀者可問一問專家.（例如，寫個電郵畀Grisha）。

Grisha Perelman 出場: 塌縮控制/regularity 估計?

係2002年，聖彼得堡Steklov數學院嘅Grigory Perelman（一位研究Alexandroff 空間同埋 Ricci 流嘅專家）係 www.arXiv.org 出咗篇文章，入面第三頁話：

• "...the implementation of Hamilton program would imply the geometrization conjecture for closed three-manifolds....In this paper we carry out some details of Hamilton program."

Grisha後又來登咗兩篇文章補充， 但到底佢有無完全證明龐加萊猜想，就好難講；佢短短三篇文，非常難理解，好多專家研究到現今，先至出咗幾篇幾百頁嘅論文. 總之，佢貢獻好大，好關鍵。

Grisha 係2003年春天，訪問咗麻省理工學院一個星期，跟住訪問紐約石溪州立大學兩個星期，講咗十幾場報告。

Grisha嘅一啲構築嘅啟發來自量子場論、重整群理論 （見 p.3， The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications， Gregory Perelman， November，2002 ）; 但佢無詳細講清楚。

結果？

各方專家嘅解讀：

• John Milnor
• Richard Hamilton: Plenary Lecture, ICM2006
• Huai-Dong Cao and Xi-Ping Zhu “A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow” Asian Journal of Mathematics
• Bruce Kleiner, John Lott Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers
• John Morgan and Tian Gang Ricci Flow and the Poincare Conjecture

花邊新聞

• Grisha Perelman 早睡早起。 Grisha Perelman好少使錢。
• Poincare 過目不忘。

參考

• 龐加萊生平

• 國際數學人大會新聞發佈："Information about Grigori Perelman, Fields Medal winner"

• Last but not least: Grisha Perelman 嘅論文: www.arXiv.org/find/math