Collatz猜想

標示小數字嘅軌道嘅有向圖，雙數除外。Collatz猜想話所有嘅道路都會指去 1。

Collatz 猜想（粵拼：ko1 lats4 caai1 soeng2，英文：Collatz conjecture，中文：奇偶歸一猜想、3n+1 猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、烏拉姆猜想、敘拉古猜想）係一個數學猜想，個猜想係噉樣嘅：首先，你求祈揀個正數 $n$。晒呢，如果個數字係雙數嚟嘅話就將佢除以二，如果係單數嘅話就將佢乘三加一。跟住就用呢個方法嚟係噉將呢個數字係噉變。個猜想就係任你初頭嗰陣時揀乜嘢正數都好，所整出嚟嘅數列最後都係會達到 1 呢個數字嘅。

個猜想係跟諗起者 Lothar Collatz 名嘅，諗起猜想嘅年份係 Collatz 收到博士之後嘅兩年。個猜想亦都叫做 3n+1 猜想、Ulam 猜想（跟 Stanisław Ulam 名），角谷問題（跟角谷静夫名）、Thwaites 猜想（跟 Bryan Thwaites 爵士名）、Hasse 運算（ 跟 Helmut Hasse 名）同埋 Syracuse 問題。 啲數字嘅數列有時會叫做冰雹數列（因為啲數字就好似喺雲上高嘅冰雹噉又升又跌）或者驚人嘅數字（wondrous numbers）。

艾狄胥（Erdős Pál）曾經就 Collatz 猜想做過評論：「數學未曾為呢種問題做好準備。」佢亦都提供咗五百鈫美金作為答案嘅獎賞。Jeffrey Lagarias 喺2010年講過話 Collatz 猜想「係一個難到抽筋嘅問題，遠遠超於現今嘅數學」。

問題嘅陳述

我哋喺正數嘅前提入面考慮以下嘅變法：

• 如果個數字係雙數嘅話，將個數字除以二
• 如果個數字係單數嘅話，將個數字乘三加一

用商餘計算嘅寫法就會得出呢個函數$f$：

$f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {2}}\\[4px]3n+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}$

再用$f$嚟不停噉變個數字，喺過程中整出咗一個數列。

噉Collatz猜想就話：「無論你揀咩數字都好，個數字經過呢個過程之後一定會達到 1 呢個數字」

圖

• 
  有向圖，有顯示頭千個數字嘅軌道
• 
  x 軸顯示開頭個數字，y 軸顯示喺鏈入面至高嘅數值。呢個圖冇顯示曬所有嘅至高數值，譬如 x = 9663所對應嘅 y 有 $2.7\times 10^{7}$。
• 
  所有少過20步嘅數字嘅樹（㩒入去放大）.

計數機驗證

我哋可以寫以下嘅Python程式嚟睇下某個數字會晤會達到。呢個程式一到 1 就會停，噉就可以唔使 1→4→2→1 噉循環（我哋當然可以用其他程式語言嚟寫呢個程式，呢處揀咗Python嚟寫只不過係為咗清晰度）。

def collatz(number):
    while number != 1:
        if number % 2 == 0:
            number = number // 2
        elif number % 2 == 1:
            number = number*3 + 1
        print(number)

collatz(int(input('輸入一個正整數')))

連出去

YouTube上面嘅The Simplest Math Problem No One Can Solve 喺 Veritasium 頻道。