Killing 式

Killing 式 (Killing form)係一李代數L上定義嘅對稱雙線性式(en:symmetric bilinear form)；佢有種L-唔變 (L-invariance)性質。Killing 式係分析李代數(尤其係半單李代數) L 結構同埋研究佢嘅表示論嘅基本結構。

定義

設

• $F$ 係域
• $L$ 係任何 $F$ 上嘅李代數
• $\operatorname {ad} :L\rightarrow End(L)$係伴隨表示(en:adjoint representation)
• $Tr:End(L)\rightarrow F$ 係跡 (en:trace, de:Spur)
• $x,y\in L$

咁 Killing 式 $k$ 係雙線性式:

• $k:L\otimes L\rightarrow F$
• $k(x,y):=Tr(\operatorname {ad} x\operatorname {ad} y)$

性質

• 結合性(en:associativity)： $k([x,y],z)=k(x,[y,z])$
• 李代數嘅 Killing 式唔退化 if and only if 佢係半單李代數。
• 緊緻李代數嘅 Killing 式係負定嘅。

參攷

• J.-P. Serre, Complex semi-simple Lie algebras
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , ISBN 978-0-387-90053-7