Theta 函數

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數學中, Theta 函數多複變特殊函數一種。 其應用兼阿貝爾簇[1]同埋模空間二次形式[2]孤立子[3]理論;其格拉斯曼代數[4]推廣 亦見於 量子場論,尤其超弦D-膜[5]理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於「z」 變量,theta 函數有種「擬周期」性[6] 。喺一般下降理論[7]中,數學中, Theta 函數多複變特殊函數一種。 其用兼阿貝爾簇[8]模空間二次形式[9]孤立子[10]理論;其格拉斯曼代數[11]推廣 亦見於 量子場論,尤其於 超弦D-膜[12]理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於其「z」 變量,theta 函數有「擬周期」性[13] 。喺一般下降理論[14]中,此來自線叢條件。

雅可比 theta 函數[編輯]

雅可比 theta 函數攞一雙變量 z 同 τ, 其中 z 為任何複數,而 τ 為上半複平面上一點;此函數嘅定義係:

若固定 τ,則此成為一週期為 1 之單變量(z)整函數富里埃展開式

以 τ 位移時,呢支函數符合:

其中 ab為整數。

輔助函數[編輯]

我地可定義輔助函數:

其中符號跟黎曼Mumford嘅習慣; 雅可比篇原文用變量[15] 替換咗 τ,而叫本文嘅 theta 做

若設 z = 0 ,咁我地可從以上獲得四支單以 τ 為變量嘅函數, 其中 τ 取值於上半複平面。呢啲函數人稱「 theta 『常量』[16];我地可以用 theta 函數定義一系列模形式,或參數化某啲曲線。由「雅可比 恆等式」可得:

,

是為四次費馬曲線

雅可比恆等式[編輯]

雅可比恆等式描述模羣喺theta 函數嘅作用;模羣嘅生成元係 T: τ ↦ τ+1 同 S: τ ↦ -1/τ 。我地已有 T 作用之式。設

nome q 表示 theta 函數[編輯]

我地可用變量 wq[17] ,代替 z 同 τ,來表示 ϑ。設 。則 ϑ 可表示為:

而輔助 theta 函數可表示為:

此表示式唔使指數函數,故適用於指數函數無每一處定義嘅域,如p 進數[18]

乘積表示式[編輯]

雅可比三重積恆等式[19]話:若有複數 w and q,其中 |q| < 1 而 w ≠ 0 ,則

此式可用基本方法證,如 Hardy 同 Wright 本 《An Introduction to the Theory of Numbers》。

若用 nome變量 表示,則有

故得 theta 函數之積公式

三重積等式左邊可擴展成

此式喺 z 取實值時尤其重要。 各輔助 theta 函數亦有類似之積公式:

積分表示式[編輯]

雅可比 theta 函數可用積分表示,如下:

與黎曼 zeta 函數之關係[編輯]

黎曼曾用關係式

以證黎曼 zeta 函數函數方程。渠話:

而此積分喺替換下不變。 z 非零時嘅積分表示,喺Hurwitz zeta 函數一文有描述。

同 Weierstrass 橢圓函數嘅關係[編輯]

雅可比用 theta 函數來構造橢圓函數,並令渠有易計嘅款。渠表示渠啲橢圓函數做兩支上述 theta 函數之商。Weierstrass 橢圓函數亦可由以雅可比 theta 函數構造:

其中二次微分相對於 z,而常數 cLaurent 級數 (於 z = 0) 常項為零。

同模形式嘅關係[編輯]

設 η 為 Dedekind eta 函數。則

.

解熱方程[編輯]

雅可比 theta 函數係一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件嘅唯一解。 設 z = x 攞實值,τ = itt 攞正值。則有

此解此下方程:

t = 0 時, theta 函數成為「Dirac 梳[20]

其中 δ 為 Dirac delta 函數, 故可知此解唯一。 因此,一般解可得自 t = 0 時之(週期)邊界條件同 theta 函數嘅卷積。

同海森堡羣嘅關係[編輯]

雅可比 theta 函喺海森堡羣嘅一離散子羣作用下不變。 見海森堡羣之theta 表示一文。

推廣[編輯]

F為一n二次式,則有一 關連嘅 theta 函數

其中 Zn 為整數。此 theta 函數係模羣(或某適當子羣)上嘅權 n/2 模形式。 在其富理埃級數

中,RF(k) 稱為此模形式之「表示數」[21]

Ramanujan theta 函數[編輯]

見主文Ramanujan theta 函數mock theta 函數

黎曼 theta 函數[編輯]

為一集對稱方矩陣,其虚部為正定。 我地叫HnSiegel 上半平面,係上半複平面嘅高維推廣。模羣嘅n維推廣為辛羣 Sp(2n,Z): 當n = 1 時, Sp(2,Z) = SL(2,Z)。 Congruence 子羣n維推廣係態射核

若設定 ,則可定義黎曼 theta 函數

其中 為一 n維複向量,上標T轉置。然則 雅可比 theta 函數係其特例(設n = 1、 ;其中為上半平面)。

嘅緊致子集上,黎曼 theta 函數絶對一致收歛。

函數方程為:

此方程成立於 ,

q-theta 函數[編輯]

參見文q-theta 函數

參攷[編輯]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 Template:Please check ISBN . (See section 16.27ff.)
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
  • G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
  • David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
  • James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
  • Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 683-07196-3 Template:Please check ISBN.

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[編輯]

  1. en:abelian variety
  2. en:quadratic form
  3. (en:soliton)
  4. en:grassmann algebra
  5. en:D-brane)
  6. en:quasiperiodic function
  7. en:descent (category theory)
  8. en:abelian variety
  9. en:quadratic form
  10. (en:soliton)
  11. en:grassmann algebra
  12. en:D-brane)
  13. en:quasiperiodic function
  14. en:descent (category theory)
  15. (nome)
  16. en:theta constant
  17. en:nome
  18. en:p-adic number
  19. en:Jacobi's triple product identity
  20. en:Dirac comb
  21. representation numbers