Theta 函數

數學中， Theta 函數 係多複變特殊函數一種。 其應用兼阿貝爾簇同埋模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣 亦見於 量子場論，尤其超弦同D-膜理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於「z」 變量，theta 函數有種「擬周期」性 。喺一般下降理論中，數學中， Theta 函數 為多複變特殊函數一種。 其用兼阿貝爾簇與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣 亦見於 量子場論，尤其於 超弦與D-膜理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於其「z」 變量，theta 函數有「擬周期」性 。喺一般下降理論中，此來自線叢條件。

雅可比 theta 函數

雅可比 theta 函數攞一雙變量 z 同 τ， 其中 z 為任何複數，而 τ 為上半複平面上一點；此函數嘅定義係：

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)$。

若固定 τ，則此成為一週期為 1 之單變量(z)整函數嘅 富里埃展開式：

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )$。

以 τ 位移時，呢支函數符合：

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau$ ;\tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau )} ；

其中 a與b為整數。

輔助函數

我地可定義輔助函數：

$\vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+1/2;\tau )$

$\vartheta _{10}(z;\tau )=\exp(\pi i\tau /4+\pi iz)\vartheta (z+\tau /2;\tau )$

$\vartheta _{11}(z;\tau )=\exp(\pi i\tau /4+\pi i(z+1/2))\vartheta (z+(\tau +1)/2;\tau ).$

其中符號跟黎曼同Mumford嘅習慣； 雅可比篇原文用變量 $q=\exp(\pi i\tau )$替換咗 τ，而叫本文嘅 theta 做$\theta _{3}$， $\vartheta _{01}$ 做 $\theta _{0}$，$\vartheta _{10}$ 做 $\theta _{2}$，$\vartheta _{11}$做$-\theta _{1}$。

若設 z = 0 ，咁我地可從以上獲得四支單以 τ 為變量嘅函數， 其中 τ 取值於上半複平面。呢啲函數人稱「 theta 『常量』」；我地可以用 theta 函數定義一系列模形式，或參數化某啲曲線。由「雅可比 恆等式」可得：

$\vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}$,

是為四次費馬曲線。

雅可比恆等式

雅可比恆等式描述模羣喺theta 函數嘅作用；模羣嘅生成元係 T: τ ↦ τ+1 同 S: τ ↦ -1/τ 。我地已有 T 作用之式。設

$\alpha =(-i\tau )^{1/2}\exp({\pi iz^{2}}{\tau }).$

則

${\displaystyle \vartheta (z/\tau$ ;-1/\tau )=\alpha \vartheta (z;\tau )}

${\displaystyle \vartheta _{01}(z/\tau$ ;-1/\tau )=\alpha \vartheta _{10}(z;\tau )}

${\displaystyle \vartheta _{10}(z/\tau$ ;-1/\tau )=\alpha \vartheta _{01}(z;\tau )}

${\displaystyle \vartheta _{11}(z/\tau$ ;-1/\tau )=-\alpha \vartheta _{11}(z;\tau )}

以 nome q 表示 theta 函數

我哋可用變量 w 與 q ，代替 z 同 τ，來表示 ϑ。設 $w=\exp(\pi iz)$ 而$q=\exp(\pi i\tau )$。則 ϑ 可表示為：

$\vartheta (w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

而輔助 theta 函數可表示為：

$\vartheta _{01}(w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},$

$\vartheta _{10}(w;q)=q^{1/4}\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},$

$\vartheta _{11}(w;q)=iq^{1/4}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.$

此表示式唔使指數函數，故適用於指數函數無每一處定義嘅域，如p 進數域

乘積表示式

雅可比三重積恆等式話：若有複數 w and q，其中 |q| < 1 而 w ≠ 0 ，則

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

此式可用基本方法證，如 Hardy 同 Wright 本 《An Introduction to the Theory of Numbers》。

若用 nome變量 $q=\exp(\pi i\tau )$ 同 $w=\exp(\pi iz)$ 表示，則有

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

故得 theta 函數之積公式

$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)$

三重積等式左邊可擴展成

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),$

即

$\vartheta (z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)$。

此式喺 z 取實值時尤其重要。 各輔助 theta 函數亦有類似之積公式：

$\vartheta _{01}(z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).$

$\vartheta _{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$

$\vartheta _{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$

積分表示式

雅可比 theta 函數可用積分表示，如下：

$\vartheta (z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du$

$\vartheta _{01}(z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.$

$\vartheta _{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du$

$\vartheta _{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du$

與黎曼 zeta 函數之關係

黎曼曾用關係式

$\vartheta (0;-1/\tau )=(-i\tau )^{1/2}\vartheta (0;\tau )$

以證黎曼 zeta 函數之函數方程。渠話：

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-s/2}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}$；

而此積分喺替換$s\to 1-s$下不變。 z 非零時嘅積分表示，喺Hurwitz zeta 函數一文有描述。

同 Weierstrass 橢圓函數嘅關係

雅可比用 theta 函數來構造橢圓函數，並令渠有易計嘅款。渠表示渠啲橢圓函數做兩支上述 theta 函數之商。Weierstrass 橢圓函數亦可由以雅可比 theta 函數構造：

$\wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c$

其中二次微分相對於 z，而常數 c 令$\wp (z)$ 嘅 Laurent 級數 （於 z = 0） 常項為零。

同模形式嘅關係

設 η 為 Dedekind eta 函數。則

$\vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}$.

解熱方程

雅可比 theta 函數係一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件嘅唯一解。 設 z = x 攞實值，τ = it 而t 攞正值。則有

$\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)$

此解此下方程：

${\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)$。

喺 t = 0 時， theta 函數成為「Dirac 梳」

$\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)$，

其中 δ 為 Dirac delta 函數， 故可知此解唯一。 因此，一般解可得自 t = 0 時之（週期）邊界條件同 theta 函數嘅卷積。

同海森堡羣嘅關係

雅可比 theta 函喺海森堡羣嘅一離散子羣作用下不變。 見海森堡羣之theta 表示一文。

推廣

若F為一n元 二次式，則有一 關連嘅 theta 函數

$\theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))$

其中 Zⁿ 為整數格。此 theta 函數係模羣（或某適當子羣）上嘅權 n/2 模形式。 在其富理埃級數

$\theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)$

中，R_F(k) 稱為此模形式之「表示數」。

Ramanujan theta 函數

見主文Ramanujan theta 函數 與 mock theta 函數

黎曼 theta 函數

設

$\mathbb {H} _{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}$

為一集對稱方矩陣，其虚部為正定。 我地叫H_n 做 Siegel 上半平面，係上半複平面嘅高維推廣。模羣嘅n維推廣為辛羣 Sp(2n,Z)： 當n = 1 時， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。 Congruence 子羣嘅n維推廣係態射核${\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}$。

若設定 $\tau \in \mathbb {H} _{n}$，則可定義黎曼 theta 函數：

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)$；

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)$；

其中 $z\in \mathbb {C} ^{n}$為一 n維複向量，上標T為轉置。然則 雅可比 theta 函數係其特例（設n = 1、 $\tau \in \mathbb {H}$；其中$\mathbb {H}$為上半平面）。

喺$\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.$嘅緊致子集上，黎曼 theta 函數絶對一致收歛。

函數方程為：

$\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )$；

此方程成立於 $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$, $z\in \mathbb {C} ^{n}$ ， $\tau \in \mathbb {H} _{n}$。

q-theta 函數

參見文q-theta 函數。

參攷

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 Template:Please check ISBN . (See section 16.27ff.)
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
• G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
• David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
• James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
• Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 683-07196-3 Template:Please check ISBN.