Theta 函數

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數學中, Theta 函數多複變特殊函數一種。 其應用兼阿貝爾簇[1]同埋模空間二次形式[2]孤立子[3]理論;其格拉斯曼代數[4]推廣 亦見於 量子場論,尤其超弦D-膜[5]理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於「z」 變量,theta 函數有種「擬周期」性[6] 。喺一般下降理論[7]中,數學中, Theta 函數多複變特殊函數一種。 其用兼阿貝爾簇[8]模空間二次形式[9]孤立子[10]理論;其格拉斯曼代數[11]推廣 亦見於 量子場論,尤其於 超弦D-膜[12]理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於其「z」 變量,theta 函數有「擬周期」性[13] 。喺一般下降理論[14]中,此來自線叢條件。

雅可比 theta 函數[編輯]

雅可比 theta 函數攞一雙變量 z 同 τ, 其中 z 為任何複數,而 τ 為上半複平面上一點;此函數嘅定義係:

\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau +2 \pi i n z)

若固定 τ,則此成為一週期為 1 之單變量(z)整函數富里埃展開式

\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau)

以 τ 位移時,呢支函數符合:

\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \exp(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)\vartheta(z;\tau)

其中 ab為整數。

輔助函數[編輯]

我地可定義輔助函數:

\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+1/2;\tau)
\vartheta_{10}(z;\tau) = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i z)\vartheta(z+\tau/2;\tau)
\vartheta_{11}(z;\tau) = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i (z+1/2))\vartheta(z+(\tau+1)/2;\tau).

其中符號跟黎曼Mumford嘅習慣; 雅可比篇原文用變量[15] q = \exp(\pi i \tau)替換咗 τ,而叫本文嘅 theta 做\theta_3\vartheta_{01}\theta_0\vartheta_{10}\theta_2\vartheta_{11}-\theta_1

若設 z = 0 ,咁我地可從以上獲得四支單以 τ 為變量嘅函數, 其中 τ 取值於上半複平面。呢啲函數人稱「 theta 『常量』[16];我地可以用 theta 函數定義一系列模形式,或參數化某啲曲線。由「雅可比 恆等式」可得:

\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4,

是為四次費馬曲線

雅可比恆等式[編輯]

雅可比恆等式描述模羣喺theta 函數嘅作用;模羣嘅生成元係 T: τ ↦ τ+1 同 S: τ ↦ -1/τ 。我地已有 T 作用之式。設

\alpha = (-i \tau)^{1/2} \exp ({\pi i z^2}{\tau}).

\vartheta (z/\tau; -1/\tau) = \alpha \vartheta(z; \tau)
\vartheta_{01} (z/\tau; -1/\tau) = \alpha \vartheta_{10}(z; \tau)
\vartheta_{10} (z/\tau; -1/\tau) = \alpha \vartheta_{01}(z; \tau)
\vartheta_{11} (z/\tau; -1/\tau) = -\alpha \vartheta_{11}(z; \tau)

nome q 表示 theta 函數[編輯]

我地可用變量 wq[17] ,代替 z 同 τ,來表示 ϑ。設 w = \exp(\pi i z)q = \exp(\pi i \tau)。則 ϑ 可表示為:

\vartheta(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty  w^{2n}q^{n^2}.

而輔助 theta 函數可表示為:

\vartheta_{01}(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n}q^{n^2},
\vartheta_{10}(w; q) = q^{1/4} \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n+1}q^{n^2+n},
\vartheta_{11}(w; q) = i q^{1/4} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n+1}q^{n^2+n}.

此表示式唔使指數函數,故適用於指數函數無每一處定義嘅域,如p 進數[18]

乘積表示式[編輯]

雅可比三重積恆等式[19]話:若有複數 w and q,其中 |q| < 1 而 w ≠ 0 ,則

\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + w^{2}q^{2m-1}\right)
\left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty  w^{2n}q^{n^2}.

此式可用基本方法證,如 Hardy 同 Wright 本 《An Introduction to the Theory of Numbers》。

若用 nome變量 q = \exp(\pi i \tau)w = \exp(\pi i z) 表示,則有

\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(\pi i z 2n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.

故得 theta 函數之積公式

\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right)

三重積等式左邊可擴展成

\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + (w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),

\vartheta(z|q) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)

此式喺 z 取實值時尤其重要。 各輔助 theta 函數亦有類似之積公式:

\vartheta_{01}(z|q) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).
\vartheta_{10}(z|q) = 2 q^{1/4}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).
\vartheta_{11}(z|q) = -2 q^{1/4}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).

積分表示式[編輯]

雅可比 theta 函數可用積分表示,如下:

\vartheta (z; \tau) = -i 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du
\vartheta_{01} (z; \tau) = -i 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.
\vartheta_{10} (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4} 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du
\vartheta_{11} (z; \tau) = e^{iz + i \pi \tau / 4} 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du

與黎曼 zeta 函數之關係[編輯]

黎曼曾用關係式

\vartheta(0;-1/\tau)=(-i\tau)^{1/2} \vartheta(0;\tau)

以證黎曼 zeta 函數函數方程。渠話:

\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-s/2} \zeta(s) = 
\frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right]
t^{s/2}\frac{dt}{t}

而此積分喺替換s \to 1-s 下不變。 z 非零時嘅積分表示,喺Hurwitz zeta 函數一文有描述。

同 Weierstrass 橢圓函數嘅關係[編輯]

雅可比用 theta 函數來構造橢圓函數,並令渠有易計嘅款。渠表示渠啲橢圓函數做兩支上述 theta 函數之商。Weierstrass 橢圓函數亦可由以雅可比 theta 函數構造:

\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))'' + c

其中二次微分相對於 z,而常數 c\wp(z)Laurent 級數 (於 z = 0) 常項為零。

同模形式嘅關係[編輯]

設 η 為 Dedekind eta 函數。則

\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\tau+\frac{1}{2}\right)}{\eta(2\tau+1)}.

解熱方程[編輯]

雅可比 theta 函數係一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件嘅唯一解。 設 z = x 攞實值,τ = itt 攞正值。則有

\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)

此解此下方程:

\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)

t = 0 時, theta 函數成為「Dirac 梳[20]

\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)

其中 δ 為 Dirac delta 函數, 故可知此解唯一。 因此,一般解可得自 t = 0 時之(週期)邊界條件同 theta 函數嘅卷積。

同海森堡羣嘅關係[編輯]

雅可比 theta 函喺海森堡羣嘅一離散子羣作用下不變。 見海森堡羣之theta 表示一文。

推廣[編輯]

F為一n二次式,則有一 關連嘅 theta 函數

\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))

其中 Zn 為整數。此 theta 函數係模羣(或某適當子羣)上嘅權 n/2 模形式。 在其富理埃級數

\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)

中,RF(k) 稱為此模形式之「表示數」[21]

Ramanujan theta 函數[編輯]

見主文Ramanujan theta 函數mock theta 函數

黎曼 theta 函數[編輯]

\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}

為一集對稱方矩陣,其虚部為正定。 我地叫HnSiegel 上半平面,係上半複平面嘅高維推廣。模羣嘅n維推廣為辛羣 Sp(2n,Z): 當n = 1 時, Sp(2,Z) = SL(2,Z)。 Congruence 子羣n維推廣係態射核\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}

若設定 \tau\in \mathbb{H}_n,則可定義黎曼 theta 函數

\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)
\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i 
\left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)

其中 z\in \mathbb{C}^n為一 n維複向量,上標T轉置。然則 雅可比 theta 函數係其特例(設n = 1、 \tau \in \mathbb{H};其中\mathbb{H}為上半平面)。

\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.嘅緊致子集上,黎曼 theta 函數絶對一致收歛。

函數方程為:

\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i 
\left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)

此方程成立於 a,b \in  \mathbb{Z}^n, z \in \mathbb{C}^n\tau \in \mathbb{H}_n

q-theta 函數[編輯]

參見文q-theta 函數

參攷[編輯]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 Template:Please check ISBN . (See section 16.27ff.)
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
  • G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
  • David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
  • James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
  • Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 683-07196-3 Template:Please check ISBN.

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[編輯]

  1. en:abelian variety
  2. en:quadratic form
  3. (en:soliton)
  4. en:grassmann algebra
  5. en:D-brane)
  6. en:quasiperiodic function
  7. en:descent (category theory)
  8. en:abelian variety
  9. en:quadratic form
  10. (en:soliton)
  11. en:grassmann algebra
  12. en:D-brane)
  13. en:quasiperiodic function
  14. en:descent (category theory)
  15. (nome)
  16. en:theta constant
  17. en:nome
  18. en:p-adic number
  19. en:Jacobi's triple product identity
  20. en:Dirac comb
  21. representation numbers