Toeplitz矩陣

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線性代數入面,Toeplitz矩陣,(個名來自Otto Toeplitz),又叫常對角矩陣(diagonal-constant matrix),即係每條左上到右下嘅對角線都係常值嘅嘅(唔一定要四方形,長方都得)矩陣。例如:

任何咁樣嘅n×n 矩陣 A

都係個Toeplitz矩陣。若我地叫A 嘅 i,j元做Ai,j,咁

性質[編輯]

通常,矩陣方程

可以睇做一般解n線性方程嘅問題。如果 A 係個 Toeplitz 矩陣,咁套方程就好特別(自由度得 2n − 1 ,而唔係 n2)。 所以Toeplitz系統我哋可以預咗會易解的。

呢方面可以借以下嘅 2階(rank)轉換

來研究;其中 向下郁算子( down-shift operator)。尤其,由簡短計算,我地可知:

其中空咗嘅都係零。

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呢啲矩陣嚮電算有用,因為可以證: 加埋兩個 Toeplitz 矩陣只使O(n)時間; Toeplitz 矩陣 x 向量要用 O(n log n) 時間;而兩隻 Toeplitz 矩陣 x Toeplitz矩陣可以只用 O() 時間。

Toeplitz 系統 可以用 Levinson-Durbin Algorithm 解,需時 Θ() 。 呢套算法嘅變種,可證係喺 James Bunch 嘅意義上弱穏定(weakly stable) 嘅,(即係話,喺 well-condition 嘅線性系統,佢哋有 numerical stability )。

Toeplitz 矩陣同富理埃級數關係好密,因為「乘以一三角多項式」嘅 算子質埋入一有限維嘅空間時,可以用呢種矩陣表示。

If a Toeplitz matrix has the additional property that , then it is a circulant matrix.

Toeplitz matrices are persymmetric. Symmetric Toeplitz matrices are both centrosymmetric and bisymmetric.

卷積 operation can be constructed as a matrix multiplication, where one of the inputs is converted into a Toeplitz matrix. For example, the convolution of and can be formulated as:

.

This approach can be extended to compute autocorrelation, cross-correlation, moving average etc [1].

睇吓[編輯]

出面網頁[編輯]

  1. Using Toeplitz matrices in MATLAB [1]