線性代數 入面，Toeplitz矩陣 ，（個名來自Otto Toeplitz ），又叫常對角矩陣(diagonal-constant matrix )，即係每條左上到右下嘅對角線都係常值嘅嘅（唔一定要四方形，長方都得）矩陣。例如：
[
a
b
c
d
k
f
a
b
c
d
g
f
a
b
c
h
g
f
a
b
j
h
g
f
a
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&k\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\j&h&g&f&a\end{bmatrix}}}
任何咁樣嘅n ×n 矩陣 A ：
A
=
[
a
0
a
−
1
a
−
2
…
…
a
−
n
+
1
a
1
a
0
a
−
1
⋱
⋮
a
2
a
1
⋱
⋱
⋱
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
a
−
1
a
−
2
⋮
⋱
a
1
a
0
a
−
1
a
n
−
1
…
…
a
2
a
1
a
0
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}
都係個Toeplitz矩陣。若我地叫A 嘅 i ,j 元做A i ,j
A
i
,
j
=
a
i
−
j
.
{\displaystyle A_{i,j}=a_{i-j}.}
通常，矩陣方程
A
x
=
b
{\displaystyle Ax=b}
可以睇做一般解n 條線性方程 嘅問題。如果 A 係個 Toeplitz 矩陣，咁套方程就好特別(自由度 得 2n − 1 ，而唔係 n 2 )。 所以Toeplitz系統我哋可以預咗會易解的。
呢方面可以借以下嘅 2階(rank )轉換
A
U
n
−
U
m
A
,
{\displaystyle AU_{n}-U_{m}A,}
來研究；其中
U
k
{\displaystyle U_{k}}
向下郁算子 ( down-shift operator )。尤其，由簡短計算，我地可知：
A
U
n
−
U
m
A
=
[
a
−
1
⋯
a
−
n
+
1
0
⋮
−
a
−
n
+
1
⋮
⋮
0
⋯
−
a
n
−
n
−
1
]
{\displaystyle AU_{n}-U_{m}A={\begin{bmatrix}a_{-1}&\cdots &a_{-n+1}&0\\\vdots &&&-a_{-n+1}\\\vdots &&&\vdots \\0&\cdots &&-a_{n-n-1}\end{bmatrix}}}
其中空咗嘅都係零。
呢啲矩陣嚮電算 有用，因為可以證: 加埋兩個 Toeplitz 矩陣只使O(n ) 時間； Toeplitz 矩陣 x 向量要用 O(n log n ) 時間；而兩隻 Toeplitz 矩陣 x Toeplitz矩陣可以只用 O(
n
2
{\displaystyle n^{2}}
Toeplitz 系統
A
x
=
b
{\displaystyle Ax=b}
Levinson-Durbin Algorithm 解，需時 Θ(
n
2
{\displaystyle n^{2}}
weakly stable ) 嘅，(即係話，喺 well-condition 嘅線性系統，佢哋有 numerical stability )。
Toeplitz 矩陣同富理埃級數 關係好密，因為「乘以一三角多項式 」嘅 算子 質埋 入一有限維嘅空間時，可以用呢種矩陣表示。
If a Toeplitz matrix has the additional property that
a
i
=
a
i
+
n
{\displaystyle a_{i}=a_{i+n}}
circulant matrix .
Toeplitz matrices are persymmetric . Symmetric Toeplitz matrices are both centrosymmetric and bisymmetric .
卷積 operation can be constructed as a matrix multiplication, where one of the inputs is converted into a Toeplitz matrix. For example, the convolution of
x
{\displaystyle x}
h
{\displaystyle h}
y
=
x
∗
h
=
[
h
1
h
2
h
3
⋮
h
m
−
1
h
m
]
[
x
1
x
2
x
3
…
x
n
0
0
0
…
0
0
x
1
x
2
x
3
…
x
n
0
0
…
0
0
0
x
1
x
2
x
3
…
x
n
0
…
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
…
⋮
⋮
…
0
0
…
0
0
x
1
…
x
n
−
2
x
n
−
1
x
n
0
0
0
…
0
0
x
1
…
x
n
−
2
x
n
−
1
x
n
]
{\displaystyle {\begin{matrix}y&=&x\ast h\\&=&{\begin{bmatrix}h_{1}\\h_{2}\\h_{3}\\\vdots \\h_{m-1}\\h_{m}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}&0&0&0&\ldots &0\\0&x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}&0&0&\ldots &0\\0&0&x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ldots &\vdots &\vdots &\ldots &0\\0&\ldots &0&0&x_{1}&\ldots &x_{n-2}&x_{n-1}&x_{n}&0\\0&0&\ldots &0&0&x_{1}&\ldots &x_{n-2}&x_{n-1}&x_{n}\\\end{bmatrix}}\end{matrix}}}
This approach can be extended to compute autocorrelation , cross-correlation , moving average etc [ 1]
↑ Using Toeplitz matrices in MATLAB [1] 互聯網檔案館 嘅歸檔 ，歸檔日期2011年7月8號，.
