Znám 問題

1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1/(2×3×11×23×31) 嘅圖，每行有 k 個正方形，邊長係 1/k，總面積係 1/k，所有正方形加埋係一個面積係 1 嘅大正方形。最底一行應該有 47058 個正方形，邊長係 1/47058，不過太細睇唔到。

數論入面，Znám 問題（英文：Znám's problem）係想問邊啲 k 個整數嘅組合符合呢個條件：每個整數都可以整除而且唔等於其他整數乘埋再加 1。Znám 問題係以斯洛伐克數學家 Štefan Znám 命名，佢喺1972年提出呢個問題，不過其實喺嗰段時間都有其他數學家諗緊類似嘅問題。其中一個相關嘅問題係，唔要求整數係真因數，淨係需要係因數就得，則係話容許某啲整數直情等於其他整數乘埋再加一，呢種問題喺呢篇文入邊會叫做仿 Znám 問題。

對任何 k，仿 Znám 問題都有一個好簡單嘅解：喺 Sylvester 數列到攞佢頭 k 個數出嚟就得。Sun (1983) 證明對 $k\geq 5$，Znám 問題都有最少一個解，佢嘅證明用咗同 Sylvester 數列好似嘅遞歸方法，不過個初始值就唔同。

Znám 問題同埃及分數有關。目前已知揀定一個 k 嘅話，Znám 問題只有有限個解。未知有無一啲淨係用單數嘅解，另外仲有幾個問題嘅答案都係未知嘅。

問題內容

Znám 問題就係想問有邊啲整數組合，佢哋每一個都係「其他整數乘埋再加一」嘅真因數。亦即係話，固定一個 k，有邊啲整數集合$\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}\}$，對於每一個標號 i，$n_{i}$都整除但係唔等於${\Bigl (}\prod _{j\neq i}^{n}n_{j}{\Bigr )}+1$。

一個相關嘅問題係，喺上邊嘅要求入邊，唔再要求係真因數，只係要求係因數，即係話某個$n_{i}$係可以等於${\Bigl (}\prod _{j\neq i}^{n}n_{j}{\Bigr )}+1$。呢條問題喺文獻入邊似乎無正式嘅一個名，喺呢篇文入邊會叫做仿 Znám 問題。任何Znám 問題嘅解都係仿 Znám 問題嘅解，但係掉反轉就唔一定啱。

歷史

Znám 問題係用斯洛伐克數學家 Štefan Znám 命名，佢喺1972年提出呢個問題，但係其實當年好多數學家都諗緊類似嘅問題，例如Barbeau (1971)就諗緊 k=3 情況嘅仿 Znám 問題，Mordell (1973)就獨立於Znám咁搵哂 k ≤ 5 仿 Znám 問題嘅解出嚟，Skula (1975)就證明咗 k<5 Znám 問題係無解嘅，並展示咗k = 5嗰陣，{2, 3, 11, 23, 31}呢一組係解，話係 J. Janák 搵嘅。

例子

k = 5 嘅時候 {2, 3, 7, 47, 395} 係一個解，可以計一計：

3 × 7 × 47 × 395	+ 1 =	389866,		被 2 整除
2 × 7 × 47 × 395	+ 1 =	259911,		被 2 整除
2 × 3 × 47 × 395	+ 1 =	111391,		被 7 整除
2 × 3 × 7 × 395	+ 1 =	16591,		被 47 整除
2 × 3 × 7 × 47	+ 1 =	1975,		被 395 整除

k = 4 嘅時候 {2, 3, 7, 43} 喺一個仿解，由 Sylvester 數列嘅頭四項組成。呢四個數每個都可以整除其他三個數乘埋再加一，但係最大嗰個（43）係等於其他三個（2、3、7）乘埋再加一，並唔係真因數，所以，呢組數係仿 Znám 問題嘅解，唔係原本 Znám 問題嘅解。

同埃及分數嘅關係

任何仿 Znám 問題嘅解都可以除以$\prod _{i}x_{i}$轉換成$\sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=y$嘅解，呢度$y$同啲$x_{i}$都要係整數；相反，呢啲解都可以整返啲仿 Znám 問題嘅解出嚟。喺現實上，所有已知嘅仿 Znám 問題解其實都符合$\sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1$。

亦即係話，佢哋可以整到數字 1 嘅埃及分數表示出嚟。幾篇引文入邊都有研究呢一條等式，Brenton & Hill (1988)研究呢條等式喺拓樸學入邊嘅應用，可以幫曲面上面嘅奇異點分類，Domaratzki et al. (2005)就將佢應用喺非決定性有限狀態機上面。

解嘅數量

Janák & Skula (1978)證明咗，揀定任何一個 k，解嘅數量都係有限嘅，所以去數每個 k 有幾多個解都係一個研究課題。

Brenton 同 Vasiliu 由 k=5 開始，對細嘅幾個 k 數咗有幾多個解：

2, 5, 18, 96 （OEIS數列A075441）

現時嚟講，k=9 同 10 嘅情況有幾個解計咗出嚟，但係唔知道總共有幾多個解。如果唔固定 k 嘅話，總共係有無窮咁多個解：Cao & Jing (1998)證明咗如果 k ≥ 12 嘅話，就最少有 39 個解，改善咗之前嘅下界（Cao, Liu & Zhang 1987、Sun & Cao 1988)。Sun & Cao (1988)推測解嘅數量會隨住 k 而單調上升。

現時未知存唔存在純單數嘅解。除咗有一組解第一個數係 3 之外，其他解第一個數都係 2。如果解入邊所有數都係質數嘅話，佢哋嘅積就係一個原偽完美數（primary pseudoperfect number）（Butske，Jaje & Mayernik 2000），目前亦都未知呢種解係咪有無限多組。

參考

• Barbeau, G. E. J. (1971), "Problem 179", Canadian Mathematical Bulletin, 14 (1): 129.
• Brenton, Lawrence; Hill, Richard (1988), "On the Diophantine equation 1=Σ1/n_i + 1/Πn_i and a class of homologically trivial complex surface singularities", Pacific Journal of Mathematics, 133 (1): 41–67, doi:10.2140/pjm.1988.133.41, MR 0936356.
• Brenton, Lawrence; Vasiliu, Ana (2002), "Znám's problem", Mathematics Magazine, 75 (1): 3–11, doi:10.2307/3219178, JSTOR 3219178.
• Butske, William; Jaje, Lynda M.; Mayernik, Daniel R. (2000), "On the equation $\scriptstyle \sum _{p|N}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{N}}=1$, pseudoperfect numbers, and perfectly weighted graphs", Mathematics of Computation, 69: 407–420, doi:10.1090/S0025-5718-99-01088-1, MR 1648363.
• Cao, Zhen Fu; Jing, Cheng Ming (1998), "On the number of solutions of Znám's problem", J. Harbin Inst. Tech., 30 (1): 46–49, MR 1651784.
• Cao, Zhen Fu; Liu, Rui; Zhang, Liang Rui (1987), "On the equation $\scriptstyle \sum _{j=1}^{s}(1/x_{j})+(1/(x_{1}\cdots x_{s}))=1$ and Znám's problem", Journal of Number Theory, 27 (2): 206–211, doi:10.1016/0022-314X(87)90062-X, MR 0909837.
• Domaratzki, Michael; Ellul, Keith; Shallit, Jeffrey; Wang, Ming-Wei (2005), "Non-uniqueness and radius of cyclic unary NFAs", International Journal of Foundations of Computer Science, 16 (5): 883–896, doi:10.1142/S0129054105003352, MR 2174328.
• Janák, Jaroslav; Skula, Ladislav (1978), "On the integers $\scriptstyle x_{i}$ for which $\scriptstyle x_{i}|x_{1}\cdots x_{i-1}x_{i+1}\cdots x_{n}+1$", Math. Slovaca, 28 (3): 305–310, MR 0534998.
• Mordell, L. J. (1973), "Systems of congruences", Canadian Mathematical Bulletin, 16 (3): 457–462, doi:10.4153/CMB-1973-077-3, MR 0332650.
• Skula, Ladislav (1975), "On a problem of Znám", Acta Fac. Rerum Natur. Univ. Comenian. Math. (Russian, Slovak summary), 32: 87–90, MR 0539862.
• Sun, Qi (1983), "On a problem of Š. Znám", Sichuan Daxue Xuebao (4): 9–12, MR 0750288.
• Sun, Qi; Cao, Zhen Fu (1988), "On the equation $\scriptstyle \sum _{j=1}^{s}1/x_{j}+1/x_{1}\cdots x_{s}=n$ and the number of solutions of Znám's problem", Northeastern Mathematics Journal, 4 (1): 43–48, MR 0970644.

連結

• Primefan, Solutions to Znám's Problem
• Weisstein, Eric W., "Znám's Problem" - MathWorld.（英文）