函數組合嘅連續性

函數組合嘅連續性（Combination of Continuous Function）係連續函數中嘅一個概念。佢係講緊兩個函數組合之後嘅連續性。呢套概念想解答嘅問題係：兩個連續函數組合之後重係唔係連續。

組合就包括函數嘅處理方法，即係$+,-,\times ,\div ,\circ$。

點連續計算法

假設$A\subseteq \mathbb {R}$，$f$同$g$都係函數，$b\in \mathbb {R}$係一點實數。

假設$c\in A$係$A$入面嘅一點，咁$f$同$g$喺$c$呢點度都係連續嘅。以下嘅都會係啱嘅：

• $f+g,f-g,fg,bg$都會喺$c$呢點度連續。
• 再假設$h:A\to \mathbb {R}$喺$c\in A$呢點度係連續嘅，同埋$h(x)\neq 0,\forall x\in A$，咁${\frac {f}{h}}$都係喺$c$呢點度連續。

證明

根據假設得知，$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$同埋$\lim _{x\to c}g(x)=g(c)$。

咁利用函數極限嘅計算法則得知，

• $\lim _{x\to c}f(x)+g(x)=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=f(c)+g(c)$
• $\lim _{x\to c}f(x)-g(x)=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=f(c)-g(c)$
• $\lim _{x\to c}f(x)\times g(x)=\lim _{x\to c}f(x)\times \lim _{x\to c}g(x)=f(c)\times g(c)$

設$f(x):=b$，咁利用上面$\lim _{x\to c}b\times g(x)=\lim _{x\to c}f(x)\times g(x)=\lim _{x\to c}f(x)\times \lim _{x\to c}g(x)=f(c)\times g(c)=b\times g(c)$。

設$h:A\to \mathbb {R}$喺$c\in A$呢點度係連續嘅，同埋$h(x)\neq 0,\forall x\in A$，咁利用函數極限嘅計算法則得知，

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle {\lim _{x\to c}f(x)}}{\displaystyle {\lim _{x\to c}g(x)}}}={\frac {f(c)}{g(c)}}$。

因為連續函數嘅定義係，如果$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$，咁$f$就係喺$c$呢點度連續。

所以以上各式成立。

集上連續計算法

由點連續計算法可以推出，集上連續嘅計算法。

定理

設$A\subseteq \mathbb {R}$，$f$同$g$都係喺集$A$上面連續，$b\in \mathbb {R}$係一點實數。以下都會係啱嘅：

• $f+g,f-g,fg,bg$都會喺集$A$上面連續。
• 再假設$h:A\to \mathbb {R}$喺集$A$上面連續嘅，同埋$h(x)\neq 0,\forall x\in A$，咁${\frac {f}{h}}$都會喺集$A$上面連續。

例子

• 多項式函數：$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$係一個喺$\mathbb {R}$上面連續嘅函數。
• 有理函數：設$p,q$係兩個多項式函數，而且喺集$A$上面連續。只要將$q$嘅根除去，即係$x\not \in \{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}$，$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$係$q$嘅根，咁$q(x)\neq 0$，得出有理函數$r(x):={\frac {p(x)}{q(x)}}$喺所有$x$點入面，除咗以上講嗰啲點之外，都係連續嘅。
• 因為$\sin$，同$\cos$都係喺$\mathbb {R}$連續嘅，所以可以得知$\tan ,\sec ,\cot ,\sec$都係喺某一堆點連續嘅。

絕對同開方連續函數

絕對連續函數

設$A\subseteq \mathbb {R}$，$f:A\to \mathbb {R}$。定義$|f|$為$|f|(x):=|f(x)|,\forall x\in A$。咁以下兩條一定成立：

• 如果$f$喺$c\in A$呢點連續，咁$|f|$都會喺$c\in A$呢點連續。
• 如果$f$喺集$A$上面連續，咁$|f|$都會喺集$A$上面連續。

開方連續函數

假設$A\subseteq \mathbb {R}$，$f:A\to \mathbb {R}$，$f$符合$f(x)\geq 0,\forall x\in A$。定義${\sqrt {f}}$為${\bigl (}{\sqrt {f}}{\bigr )}(x):={\sqrt {f(x)}},\forall x\in A$。咁以下兩條一定成立：

• 如果$f$喺$c\in A$呢點連續，咁${\sqrt {f}}$都會喺$c\in A$呢點連續。
• 如果$f$喺集$A$上面連續，咁${\sqrt {f}}$都會喺集$A$上面連續。

以上兩條都係可以由數列要求，推到函數極限，再引出以上兩個結果。

組合函數嘅連續性

喺連續性入面，係可以討論埋組合函數呢一個函數運算嘅方法。以下嘅定理會證明出$f:A\to \mathbb {R}$喺$c\in A$呢點度連續，同埋$g:B\to \mathbb {R}$喺$b=f(c)\in B$呢點度連續，會引伸出$g\circ f$喺$c$呢點度係連續。當然$g\circ f$會係定義到，同埋$f(A)\subseteq B$。

定理一

假設$A,B\subseteq \mathbb {R}$，$f:A\to \mathbb {R}$同埋$g:B\to \mathbb {R}$，符合$f(A)\subseteq B$。

如果$f$喺$c\in A$呢點到連續，同埋$g$喺$b=f(c)\in B$呢點度連續，咁$g\circ f$喺$c$呢點度係連續。

證明：

假設$W$係$g(b)$嘅$\varepsilon$-鄰區。

咁因為$g$喺$b$度係連續，所以就會有一個$b=f(c)$嘅$\delta$-鄰區叫$V_{g}$，使到如果$y\in B\cap V_{g}$，咁$g(y)\in W$。

同時，因為$f$喺$c$度係連續，所以就會有一個$c$嘅$\delta$-鄰區叫$V_{f}$，使到如果$x\in B\cap V_{f}$，咁$f(x)\in V_{g}$。

因為$f(A)\subseteq B$，所以如果$x\in A\cap V_{f}$，咁$f(x)\in B\cap V_{g}$。

因此，$g\circ f(x)=g(f(x))\in W$。

因為$W$係任意一個鄰區，咁$g\circ f$就係喺$c$呢點上面連續。

定理二

假設$A,B\subseteq \mathbb {R}$，$f:A\to \mathbb {R}$同埋$g:B\to \mathbb {R}$，符合$f(A)\subseteq B$。

如果$f$喺集$A$上面度連續，同埋$g$喺集$B$上面度連續，咁$g\circ f$喺$c$呢點度係連續。

睇埋

• 極限
• 連續函數
• 間上連續函數
• 保西奴中間點定理
• 統一連續