五進制

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五進制英文quinary、base-5、pental[1][2][3])係以5進位制,只係用到0、1、2、3、4五個數字記數。呢種進位制有可能源自人一隻有5隻手指,而家只有少數語言用呢種進位制。

喺呢個進位制入邊,平時嘅5會寫做10,平時嘅25會寫做100,平時嘅60寫做220,等等。

由於5係質數,分數嚟講只有啲分母係5嘅次方嘅會係有限小數,不過因為5喺兩個高合成數46)中間,好多分數嘅循環節都好短。

今時今日,大部份用5做底嘅記數系統都係所謂嘅二五進制(biquinary),實則係十進制,不過用5作為一個sub-base。另一個sub-base記數系統係大家熟悉嘅六十進制,用10做sub-base。平時用嚟記時嘅系統就係用呢一隻記數法啦。

五進制入邊每一個位可以表達位元嘅資訊。

同其他進制嘅比較[編輯]

五進制乘數表
× 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20
1 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20
2 2 4 11 13 20 22 24 31 33 40
3 3 11 14 22 30 33 41 44 102 110
4 4 13 22 31 40 44 103 112 121 130
10 10 20 30 40 100 110 120 130 140 200
11 11 22 33 44 110 121 132 143 204 220
12 12 24 41 103 120 132 144 211 223 240
13 13 31 44 112 130 143 211 224 242 310
14 14 33 102 121 140 204 223 242 311 330
20 20 40 110 130 200 220 240 310 330 400
五進制嘅零至廿五
五進制 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22
二進制 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100
十進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
五進制 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 43 44 100
二進制 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001
十進制 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
五進制嘅分數
十進制 (循環節) 五進制 (循環節) 二進制 (循環節)
1/2 = 0.5 1/2 = 0.2 1/10 = 0.1
1/3 = 0.3 1/3 = 0.13 1/11 = 0.01
1/4 = 0.25 1/4 = 0.1 1/100 = 0.01
1/5 = 0.2 1/10 = 0.1 1/101 = 0.0011
1/6 = 0.16 1/11 = 0.04 1/110 = 0.010
1/7 = 0.142857 1/12 = 0.032412 1/111 = 0.001
1/8 = 0.125 1/13 = 0.03 1/1000 = 0.001
1/9 = 0.1 1/14 = 0.023421 1/1001 = 0.000111
1/10 = 0.1 1/20 = 0.02 1/1010 = 0.00011
1/11 = 0.09 1/21 = 0.02114 1/1011 = 0.0001011101
1/12 = 0.083 1/22 = 0.02 1/1100 = 0.0001
1/13 = 0.076923 1/23 = 0.0143 1/1101 = 0.000100111011
1/14 = 0.0714285 1/24 = 0.013431 1/1110 = 0.0001
1/15 = 0.06 1/30 = 0.013 1/1111 = 0.0001
1/16 = 0.0625 1/31 = 0.0124 1/10000 = 0.0001
1/17 = 0.0588235294117647 1/32 = 0.0121340243231042 1/10001 = 0.00001111
1/18 = 0.05 1/33 = 0.011433 1/10010 = 0.0000111
1/19 = 0.052631578947368421 1/34 = 0.011242141 1/10011 = 0.000011010111100101
1/20 = 0.05 1/40 = 0.01 1/10100 = 0.000011
1/21 = 0.047619 1/41 = 0.010434 1/10101 = 0.000011
1/22 = 0.045 1/42 = 0.01032 1/10110 = 0.00001011101
1/23 = 0.0434782608695652173913 1/43 = 0.0102041332143424031123 1/10111 = 0.00001011001
1/24 = 0.0416 1/44 = 0.01 1/11000 = 0.00001
1/25 = 0.04 1/100 = 0.01 1/11001 = 0.00001010001111010111

語言[編輯]

有唔少嘅語言[4]都仲用緊五進制,例如Gumatj、Nunggubuyu[5]、Kuurn Kopan Noot[6]、Luiseño[7]同Saraveca等。Gumatj係真正嘅「5-25」語言,入邊 25 係比 5 大嘅「單位」,下邊係 Gumatj 嘅數字[5]

十進制數字 五進制 Gumatj 入邊嘅數字
1 1 wanggany
2 2 marrma
3 3 lurrkun
4 4 dambumiriw
5 10 wanggany rulu
6 11 wanggany rulu ga wanggany
7 12 wanggany rulu ga marrma
8 13 wanggany rulu ga lurrkun
9 14 wanggany rulu ga dambumiriw
10 20 marrma rulu
15 30 lurrkun rulu
20 40 dambumiriw rulu
25 100 dambumirri rulu
50 200 marrma dambumirri rulu
75 300 lurrkun dambumirri rulu
100 400 dambumiriw dambumirri rulu
125 1000 dambumirri dambumirri rulu
625 10000 dambumirri dambumirri dambumirri rulu

雙五進制[編輯]

用2、5做sub-base嘅十進制系統又叫做雙五進制(biquinary),WolofKhmer都用呢隻系統。羅馬數字都算係用呢種系統,例如7寫做VII,即係5+1+1,70就係LXX,即係50+10+10。成個數字表係:

I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000

值得留意嘅係,呢個系統唔係進位制嚟。理論上一個數字可以用任何次序表達,例如73可以寫做LXXIII同IIIXXL都得,不過其實羅馬數字仲有一條「調轉次序代表減數」嘅規則,即係IV係4,IX係9咁樣,所以羅馬數字有一個既定嘅次序去寫出嚟。

好多算盤都用雙五進制嚟方便運算,例如中國算盤、日本算盤咁樣。記數符號(tally mark)、劃正字等等都可以算係用緊五進制/雙五進制。好多貨幣都係行緊雙五進制或者係部份雙五進制,例如港紙有5亳、5蚊、50蚊、500蚊呢啲幣值。

「二五進制編碼十進數」係一啲早期嘅電腦,例如ColossusIBM 650呢啲用雙五進制嚟記十進制數字嘅方法。

四五進制[編輯]

Nahuatl用一種以4、5做sub-base嘅二十進制。

計數機同程式語言[編輯]

有少數嘅計數機可以用五進制嚟計數,例如聲寶嗰啲,包括EL-500WEL-500X系列,入邊佢叫做pental system[1][2][3]。另外開源計數機WP 34S都有用五進制。

Python嘅int()函數可以將任何進制嘅數轉返做十進制,例如五進制嘅101可以用int('101',5)轉返做十進制嘅26[8]

睇埋[編輯]

參考資料[編輯]

  1. 1.0 1.1 "Archived copy" (PDF). 原先內容歸檔 (PDF)喺2017-07-12. 喺2017-06-05搵到.CS1 maint: archived copy as title (link)
  2. 2.0 2.1 "Archived copy" (PDF). 原先內容歸檔 (PDF)喺2016-02-22. 喺2017-06-05搵到.CS1 maint: archived copy as title (link)
  3. 3.0 3.1 "Archived copy" (PDF). 原先內容歸檔 (PDF)喺2017-07-12. 喺2017-06-05搵到.CS1 maint: archived copy as title (link)
  4. Harald Hammarström, Rarities in Numeral Systems: "Bases 5, 10, and 20 are omnipresent." DOI:10.1515/9783110220933.11
  5. 5.0 5.1 Harris, John (1982), Hargrave, Susanne (編), "Facts and fallacies of aboriginal number systems" (PDF), Work Papers of SIL-AAB Series B, 8: 153–181, 原著 (PDF)喺2007-08-31歸檔
  6. Dawson, J. "Australian Aborigines: The Languages and Customs of Several Tribes of Aborigines in the Western District of Victoria (1881), p. xcviii.
  7. Closs, Michael P. Native American Mathematics. ISBN 0-292-75531-7.
  8. "Convert base-2 binary number string to int". Stack Overflow. 原先內容歸檔喺24 November 2017. 喺5 May 2018搵到.