條件期望

假想呢個骰盅裡便有四粒骰，而已知四粒骰嘅點數加埋係幾多而且其中兩粒骰露咗出嚟，思考者對餘下嗰兩粒嘅點數嘅預期，應該會有所改變。

條件期望係概率論上嘅概念，有關期望值嘅。設而家有兩個隨機變數 X 同 Y ，假如 Y 嘅數值已知，噉 X 喺 Y 條件之下嘅條件期望會記做 $E[X\mid Y]$，意思話 X 嘅期望值係跟住 Y 提供嘅資訊嚟計。如果用日常用語解釋，條件期望講緊嘅係：若果知道咗某項資訊 Y 嘅情況下，對手上個變數 X 會作出咩預測。

基本概論

内文：條件概率同期望值

睇埋：資訊

條件期望講到條件概率同期望值嘅概念。無論手上嘅變數係離散定連續，都可以用條件期望嚟分析。

例子一：擲骰（離散例子）

試想依家擲一粒冇出千嘅骰仔。界定兩個變數 A 同 B，假若擲出嚟嘅點數係雙數（二四六） A = 1，否則就 A = 0；假若擲出嚟嘅點數係質數（二三五） B = 1，否則就 B = 0。

	壹	貳	叁	肆	伍	陸
A	0	1	0	1	0	1
B	0	1	1	0	1	0

喺無條件－手上冇任何其他資訊－之下，A 嘅期望值為 $E[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2$

• 想像依家已知 B = 1，即係已知擲到嘅結果係 2、3 或 5，噉 A 嘅條件期望係：$E[A\mid B=1]=(1+0+0)/3=1/3$
• 想像依家已知 B = 0，即係已知擲到嘅結果係 1、4 或 6，噉 A 嘅條件期望係：$E[A\mid B=0]=(0+1+1)/3=2/3$

而同一道理，

• A = 1 嘅條件之下，B 嘅條件期望係 $E[B\mid A=1]=(1+0+0)/3=1/3$
• A = 0 嘅條件之下，B 嘅條件期望係 $E[B\mid A=0]=(0+1+1)/3=2/3$。

例子二：雨量數據（連續例子）

假設依家有個氣象站，喺 1990 年 1 月 1 號至 1999 年 12 月 31 號間做紀錄，紀錄咗十年共 3652 日嘅降雨量（單位：毫米）數據。無條件嘅期望降雨量，就係嗰 3652 日全部加埋再計嘅平均雨量。但係假想要預測某日嘅雨量，而已知嗰日係喺三月嘅，噉條件期望就係十年間全部 310 個三月日子嘅雨量嘅平均值。

形式定義

設 X 同 Y 都係離散嘅隨機變數，噉 X 喺已知事件 Y = y 呢個條件下嘅條件期望，係一個關於 Y 嘅值域嘅數值：

$\operatorname {E} (X\mid Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x\mid Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}}$

個定義用咗加總同條件概率嘅概念。當中 ${\mathcal {X}}$ 係 X 嘅值域，而 $\operatorname {P} (X=x,Y=y)$ 反映 X 同 Y 嘅聯合概率分佈。若果 Y = y 發生嘅概率為 0，條式除咗 0 因而結果係無定義。而假如 X 同 Y 都係連續嘅隨機變數，條式就會用到微積分中嘅積分概念：

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{f_{Y}(y)}}\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

上述呢條式嘅重點係話，喺 Y = y 之下 X 個概率分佈嘅期望值，就係 X 喺呢個條件下嘅條件期望。

相關文章

• 聯合概率分佈
• 貝葉斯統計
• 總方差定律

資源

• （英文）Paul A. Meyer, Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co., 1966, page 28
• （英文）Grimmett, Geoffrey; Stirzaker, David (2001). Probability and Random Processes (第3版). Oxford University Press. ISBN 0-19-857222-0., pages 67-69
• （英文）條件期望，Statistics How To