費氏數列

用頭幾個費氏數做邊長嘅正方形砌埋一齊

費氏數列（又譯斐波那契數列），係由意大利數學家費波那西研究出嚟嘅數列。頭兩個數係0同1，之後嘅數就係之前兩個數加埋嘅總和。數式上嚟講，就係：

$F_{0}=0,\quad F_{1}=1$

同埋

$F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}$

數列嘅數字（唔包括0）叫費氏數（又譯斐波那契數）。

費氏數列頭15個數：(0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610。（OEIS中嘅數列A000045）

同黃金比例嘅關係

通式

斐波那契數可以用通式表達：

$F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}={{(1+{\sqrt {5}})^{n}-(1-{\sqrt {5}})^{n}} \over 2^{n}{\sqrt {5}}}$

連續兩項之間嘅比例

後項同前項嘅比，趨向黃金比： 假設$x=\lim _{n\to \infty }{F_{n} \over F_{n-1}}=\lim _{n\to \infty }{F_{n+1} \over F_{n}}$

右手邊根據定義，可以轉做：

$\lim _{n\to \infty }{F_{n} \over F_{n-1}}=\lim _{n\to \infty }{F_{n}+F_{n-1} \over F_{n}}$

$x=1+{\frac {1}{x}}$，即係黃金比嘅定義。

睇埋

• 黃金比
• 黃金螺旋
• 斐波那契拈