頂點代數

頂點代數,又叫頂點算子代數(en:Vertex Operator Algebra, VOA) 係共形場論(保角場論)嘅代數結構。其應用包括魔群月光猜想(en:Monstrous moonshine)同埋幾何化朗蘭兹綱領。

1986 年，Richard Borcherds 受二維共形場論中用以插入場之頂點算子啓發，提出頂點算子代數結構。 重要例子有：

• 晶格頂點算子代數（用以研究晶格共形場論），
• 來自仿射Kac-Moody 代數嘅表示嘅頂點算子代數 （用以研究 Wess-Zumino-Witten 模型），
• 來自仿射 Virasoro 代數嘅表示嘅Virasoro 頂點算子代數 （可用以研究極小模型），
• I. Frenkel-J.Lepowsky-A.Meurman（於1988年)構造 嘅月光模(en:Moonshine module)V^♮。

定義頂點算子代數嘅各公理抽象自物理學人所謂嘅手徵代數(en:Chiral algebra)，其嚴格數學定義由 Beilinson 同埋 Drinfeld 提出。

定義

一嚿頂點代數由以下資料組成：

• 向量空間V,
• 「單位元」1$\in$V ,
• 自態射 T,
• 乘法性映射: $Y:V\otimes V\to V((z))$ 或書作 $(a,b)\mapsto Y(a,z)b=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}bz^{-n-1}$ ；

並滿足以下條件：:

1. (單位)V中每一元 a,都符合

   $Y(1,z)a=a=az^{0}$ and $Y(a,z)1\in a+zV[[z]]$

2. (位移) T(1) = 0, 且V中每元a, b, 都符合

   $Y(a,z)Tb-TY(a,z)b={\frac {d}{dz}}Y(a,z)b$

3. (四頂點函數)V中每元a, b, c , 都符合

   $X(a,b,c;z,w)\in V[[z,w]][z^{-1},w^{-1},(z-w)^{-1}]$

   其中 Y(a,z)Y(b,w)c, Y(b,w)Y(a,z)c, 與 Y(Y(a,z-w)b,w)c 分别係 X(a,b,c;z,w) 在V((z))((w)) , V((w))((z)), 與 V((w))((z-w))中之級數展開式.

此乘法映射常被寫作「狀態——場 對應」(en:state-field correspondence)：

$Y:V\to (EndV)[[z^{\pm 1}]]$,

給V中每一向量配上一支以算子為值嘅形式分佈(「頂點算子」)；其物理意義係喺原點插入一算子。T則係無窮小位移嘅一粒生成元。 「四頂點函數」公理統一咗（誤差唔過奇異值嘅）結合律與交換律。 位移公理涵蘊 Ta = a_-21, 故Y 之值決定了T 之值。

分級頂點代數

一Z₊-分級頂點代數係

• 一頂點代數V:

  $V=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V_{n}\,$

使每a ∈ V_k 與 b ∈ V_m, 符合a_n b ∈ V_k+m-n-1.

設有一Z₊-分級頂點代數. 其一 Virasoro 元 為 V中₂ 一元 ω , 使頂點算子

$Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\omega _{(n)}{z^{-n-1}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}$

符合以下條件: V_n 中每一元 a符合:

$L_{0}a=na$

$Y(L_{-1}a,z)={\frac {d}{dz}}Y(a,z)=[Y(a,z),T]$

$[L_{m},L_{n}]a=(m-n)L_{m+n}a+\delta _{m+n,0}{\frac {m^{3}-m}{12}}ca$

其中 c 係一常值，叫「中心荷」(en:central charge)， 或「V之秩」(en:rank)。 此亦使V成為 Virasoro 代數之一表示。

例

仿射李代數嘅頂點代數

内文：頂點代數(仿射)

設

• g 係單李代數
• g＾:= g((t)) + CK 係渠嘅仿射李代數
• C_k:=C. v_k 係 g^ 嘅一維表示，t 嘅作用係0，K 嘅作用係 k；
• V_k(g) := Ind_{g[ [t]]⊕CK}^{g^} C_k := U(g^) ⊗ _{g[ [t]]⊕C} C_k 係誘導表示

咁

• V_k(g) 有自然嘅頂點代數結構；我地攞v_k做其真空向量|0> 。

參攷

• Richard Borcherds, 《Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster》, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 83 (1986) 3068-3071
• Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman, 《Vertex operator algebras and the Monster》. Pure and Applied Mathematics, 134. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. liv+508 pp. ISBN 0-12-267065-5
• Edward Frenkel, David Ben-Zvi, 《Vertex algebras and Algebraic Curves》. Mathematical Surveys and Monographs, 88. American Mathematical Society, 2001. xii+348 pp. ISBN 0-8218-2894-0
• Victor Kac, 《Vertex Algebras for Beginners》, University Lecture Series, 10., 亞美利根數學會, 1996. ISBN 0-8218-0643-2