1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$係一個發散級數，將自然數嘅階乘正負相間咁加埋，歐拉係第一個考慮呢條式嘅人。雖然佢係一條發散級數，但係根據Borel求和方法，可以話呢條式等於一個大約係0.596347嘅數值。

歐拉同Borel求和方法

歐拉係第一個諗呢條級數嘅人，佢用求和方法定咗一個值畀呢條級數。呢條級數係將啲階乘一個正一個負咁樣加埋，一個定值嘅方法係用Borel求和方法，將級數寫做

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}\,dx.$

如果唔考慮兩邊都發散，將求和同積分交換嘅話：

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]e^{-x}\,dx.$

右邊方括號入邊嘅求和，如果$|x|<1$ 嘅話會數斂去${\tfrac {1}{1+x}}$，將${\tfrac {1}{1+x}}$解晰延拓去成條正實數線就可以得到一個收斂嘅積分：

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\\[4pt]&=eE_{1}(1)\approx 0.596\,347\,362\,323\,194\,074\,341\,078\,499\,369\ldots \end{aligned}}$

呢度E₁(z)係指數積分，呢個就係用Borel求和方法搵出嚟嘅值。

同微分方程嘅關係

考慮微分方程偶合系統

${\dot {x}}(t)=x(t)-y(t),\qquad {\dot {y}}(t)=-y(t)^{2}$

其中上面嗰點代表對 t 做微分。

如果要t → ∞嘅時候(x,y) = (0,0)嗰點有穩定平衡嘅話，y(t) = 1/t，代返入第一條式就攞到級數解

$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{t^{n}}}$

留意 x(1) 正正就係歐拉級數。

另一方面，條微分方程嘅解係

$x(t)=e^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.$

係咁做分部積分嘅話，個級數解可以睇做呢個準確解嘅漸近展開，歐拉嘅諗法可以話係呢個級數解同準確解都係解緊同一條微分方程，所以喺$t=1$嘅時候佢哋應該相等，即係話

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!=e\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.$

睇埋

• Alternating factorial
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's)
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

參考資料

書目

• Kline, Morris (November 1983), "Euler and Infinite Series", Mathematics Magazine, 56 (5): 307–313, doi:10.2307/2690371, JSTOR 2690371
• Kozlov, V. V. (2007), "Euler and mathematical methods in mechanics" (PDF), Russian Mathematical Surveys, 62 (4): 639–661, Bibcode:2007RuMaS..62..639K, doi:10.1070/rm2007v062n04abeh004427
• Leah, P. J.; Barbeau, E. J. (May 1976), "Euler's 1760 paper on divergent series", Historia Mathematica, 3 (2): 141–160, doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6