3-色性

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三色三葉結

結理論入面,一個結嘅3-色性英文tricolorability)係指呢個結可唔可以喺遵守一系列嘅規則之下油上三隻色,可以嘅話就叫做可以3-著色(tricolorable或3-colorable)。3-色性係一種紐結不變量,所以可以用嚟區分某啲唔一樣(唔同痕)嘅結,例如,平凡結係唔可以3-著色嘅,所以所有可以3-著色嘅結都係唔平凡。

3-著色嘅規則[編輯]

一個結如果可以根據以下嘅規則,爲佢嘅結圖每一條kwaang2油上三隻色其中一隻嘅話,就叫做可以3-著色[1]

  1. 成幅圖最少用咗2隻色;
  2. 喺每一個交叉位,嗰3支kwaang2一係全部同一隻色,一係就3隻唔同色。

某啲文獻指出一定要用嗮三隻色[2],對於一個結嚟講,2隻色同3隻色嘅要求無分別。但是,對於鏈接嚟講就唔係。

三葉結平凡2-鏈接係可以3-著色嘅,但係平凡結、Whitehead鏈接8字結都唔得,如果個結嘅一個投影係可以3-著色嘅,噉嗰啲Reidemeister移動就會保持呢個3-色性,所以對一個結嚟講,一係全部投影都可以3-著色,一係就全部唔得。」[1]

例子[編輯]

呢到有個根據規矩嘅上色方法,習慣嚟講啲結理論家會用紅、藍、綠三隻色。

三色結嘅例子[編輯]

TricoloredGrannyKnot.svg

阿嫲結(granny know)係可以3-著色嘅,喺呢個著色入面每一個交叉位都有齊3隻色。將其中一個三葉結油嗮做紅色亦都係一個符合規則嘅著色。真愛結(true lover's knot)亦都係可以3-著色嘅[3]

少過9個交叉點嘅三色結包括61、74、77、85、810、811、815、818、819、820 同埋 821

非三色結嘅例子[編輯]

Failed Tricoloring of Figure 8.svg

8字結係唔可以3-著色嘅,因為喺幅圖到見到,佢有4支kwaang2,任何兩支都係某個交叉點到相交,如果有3支係同一隻色嘅話,規則逼使剩返嗰支都係同一隻色,但係噉樣唔係一個可行嘅著色方法,但係如果一個交叉點用咗3隻色嘅話,剩返嗰支點都會同之前其中一支撞色,又係唔得。由於3-色性係一個紐結不變量,可以得證8字結係唔可以3-著色嘅。

紐結不變量[編輯]

3-色性係一個紐結不變量,亦即係話係任何嘅環境同痕(ambient isotopy)之下同一個結或者鏈接嘅3-色性都唔會變,呢一點可以用Reidemeister移動黎證明:因為3款嘅Reidemeister移動都唔會影響3-色性,3-色性係一個紐結不變量。

第I型Reidemeister移動 第II型Reidemeister移動 第III型Reidemeister移動
Tricolor Invariance on Reidemeister I.svg
Tricolor Invariance on Reidemeister II.svg
Tricolor Invariance on Reidemeister III.svg

特性[編輯]

因為3-色性係一個二元分類(一係得,一係唔得),其實佢係一個比較弱嘅不變量。例如,一個三色結同任意一個結嘅複合都係一個三色結,所以可以想像有好大部份嘅結都係三色結。其中一個改進嘅方法係去數3-著色嘅方法數量。噉嘅話,就唔再要求起碼要用2隻色,所以任何嘅結、鏈接而家起碼有3種3-著色方法(全部油嗮同一隻色,有3種色揀),而原本嘅三色結依家就有多過3種3-著色方法。

任何嘅可分鏈接,其中一部分係三色結嘅話,成個鏈接都可以3-著色(其他部份油嗮同一隻色就得)。

環面結[編輯]

如果(m, n)環面結/鏈接係可以3-著色嘅話,對任何自然數 i 同 j ,(jm, in) 同 (in, jm)都可以3-著色。

睇埋[編輯]

參考[編輯]

  1. 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition, p.3045. ISBN 9781420035223. quoted at Weisstein, Eric W., "Tricolorable" - MathWorld.(英文) Accessed: May 5, 2013.
  2. Gilbert, N.D. and Porter, T. (1994) Knots and Surfaces, p. 8
  3. Bestvina, Mladen (February 2003). "Knots: a handout for mathcircles", Math.Utah.edu.

 

其他書[編輯]

  • Weisstein, Eric W. "Three-Colorable Knot". MathWorld. Accessed: May 5, 2013.