環 (代數)

環（粵拼：waan4）係數學入面一個重要嘅代數結構。佢係一個集帶住兩個二元運算，通常叫做加同乘，係平時數字嘅加法、乘法嘅推廣。環入邊嘅元素可以係有理數、複數呢啲數字，亦都可以係函數、矩陣呢啲非數字，甚至係幾何物體都得，只要定義好佢哋之間嘅加法同乘法，而且符合一列嘅規則（公理）就得。

基本上，好多嘅計算都係喺環上面進行。

定義

一個代數環 $({\textbf {R}},+,\times )$ 係一個集 ${\textbf {R}}$ 連帶住兩個二元運算 $+$ 同埋 $\times$ ，即係加法同乘法。而佢哋必須符合：

$({\textbf {R}},+)$ $({\textbf {R}},+)$ 係阿貝爾羣。
- $\forall a,b,c\in R,(a+b)+c=a+(b+c)$
- $\exists 0\in R{\text{, such that }}\forall a\in R,a+0=0+a=a$
- $\forall a\in R,\exists {\text{ }}-a{\text{ such that }}a+(-a)=(-a)+a=0$
- $\forall a,b\in R,a+b=b+a$
乘法係可以結合（Associative）。
- $\forall a,b\in {\textbf {R}},a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
乘法對於加法符合分配律：
- $\forall a,b,c\in {\textbf {R}},a\times (b+c)=(a\times c)+(b\times c){\text{ and }}(a+c)\times c=(a\times c)+(b\times c)$ 。

如果 $({\textbf {R}},+,\times )$ 係一個環：

${\textbf {R}}$ 係可溝通環（commutative），或者可溝通性，即係話係 ${\textbf {R}}$ 入面揀任何兩粒嘢 $a,b\in {\textbf {R}}$ ，都會滿足 $ab=ba$ 。
${\textbf {R}}$ 係有單位（with unity），或者單位性，即係話 ${\textbf {R}}$ 入面對應任何一粒嘢，佢都會有一粒乘法恆等元（multiplicative identity），即係會有一粒嘢叫 ${\underline {1}}$ 符合 $a\times {\underline {1}}={\underline {1}}\times a=a$ 。

如果唔用群嘅術語嚟定義：

一個集 ${\textbf {R}}$ 連帶住兩個二元運算 $+$ 同埋 $\times$ ，即係加法同乘法。如果 $({\textbf {R}},+,\times )$ 係一個環，佢哋必須符合：

包住/被綁定（Closure）： $a+b\in {\textbf {R}};a\times b\in {\textbf {R}}\quad a,b\in {\textbf {R}}$
結合性（Associativity）： $(a+b)+c=a+(b+c);(a\times b)\times c=a\times (b\times c)\quad a,b,c\in {\textbf {R}}$
可溝通性（Commutativity）： $a+b=b+a\quad a,b\in {\textbf {R}}$
可融性（Distributivity）： $(a+b)\times c=a\times c+b\times c\quad a,b,c\in {\textbf {R}}$
有恆等元（Identity）： $\exists {\text{ }}{\underline {0}}\in G{\text{ such that }}\forall a\in G,a+{\underline {0}}={\underline {0}}+a=a$
有可逆元（Inverse）： $\forall a\in G,\exists {\text{ }}-a{\text{ such that }}a+(-a)=(-a)+a={\underline {0}}$

例子

整數帶住加法同乘法，係環嘅原型。

例一：

$(\mathbb {Z} ,+,\times )$
$(\mathbb {Q} ,+,\times )$
$(\mathbb {R} ,+,\times )$
$(\mathbb {C} ,+,\times )$

呢啲平時用開嘅數字系統都係環。

例二：

設 $F$ 係一個集包括所有由 $\mathbb {R}$ 去 $\mathbb {R}$ 嘅函數，即係 $F:=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ 。

$(F,+)$ 係阿貝爾羣，加法係咁樣定義嘅： $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ 。

定義 $\times :=(fg)(x)=f(x)+g(x)$ 。

可以證明 $F$ 係一個環。

性質

${\textbf {R}}$ 係一個環，咁佢一定會有一個加法恆等元素（Additive Identity） ${\underline {0}}$ ，對應任何 $a,b\in {\textbf {R}}$ ，以下嘅事情都成立：

$0a=a0=0$
$a(-b)=(-a)b=-(ab)$
$(-a)(-b)=ab$

其他特性

${\textbf {R}}$ 係一個環。

${\textbf {R}}$ 係可溝通性 $\iff$ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ ，對應所有嘅 $a,b\in {\textbf {R}}$ 。
如果 $({\textbf {R}},+)$ 係阿貝爾羣同埋 $ab=0,\forall a,b\in {\textbf {R}}$ ，咁 $({\textbf {R}},+,\times )$ 係一個環。

歷史

環論嘅歷史可以追溯到十九世紀。環論發展成形嘅原因，主要係嚟自當時嘅數學家想解決兩類環嘅問題：實數或虛數、多項式環同埋整數環。即係話，佢哋主要係為解決多項式同埋整數嘅問題，而發明出環呢個概念。

環係由數學家打域囂拔（David Hilbert）第一個用「環」呢個字，但係當時都重未有一個好確實嘅定義。直到二十世紀二十年代，環先至有一個好確實嘅定義。

1921年，數學家Emmy Noether喺佢嘅著作《環理想理論》（Ideal Theory in Rings）提出咗一堆有關可溝通環嘅理論。呢篇文入面最重要嘅定理就係「環倍數連鎖定理」（Ascending Chain of Ideals）。

Emmy Noether喺1907年讀完博士之後，囂拔喺1915年叫佢去哥德根大學幫佢手做研究。但係因為Noether係個女人，令到當時嘅大學唔肯畀一個教席佢。所以佢一直都係用囂拔個名嚟教書。直到1923年，打完第一次世界大戰，因為有啲政策上嘅改動，佢先有返一個教席。但喺1933年希特拉上台，身為猶太人嘅佢好快就被迫走到美國費城。

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