Švarc-Milnor 引理
喺幾何羣論入邊,Švarc-Milnor 引理(英文:Švarc-Milnor lemma,又叫Milnor-Švarc lemma,Švarc 又可以串做Schwarz)指出如果一個羣對一個空間有一個「好」嘅作用嘅話,同就係擬等距同構(quasi-isometric)。下邊會畀返個詳細定義,乜嘢叫「好」嘅作用。
呢一個定理喺有擬等距同構呢個概念定義之前,已經喺Schwarz (1955)[1]同Milnor (1968)[2]入邊出現。Pierre de la Harpe話呢個Švarc-Milnor 引理係「幾何羣論入邊最基礎嘅觀察」[3],即係對成個課題好重要咁解。依家嚟講甚至有人引述呢個定理嗰陣直程叫佢做「fundamental observation in geometric group theory」,唔叫Švarc-Milnor 引理,例如可以睇Farb and Margalit,A primer on mapping class groups,定理8.2[4]。
完整論述
[編輯]喺唔同嘅書入邊呢個定理會有少少唔同,以下呢個係Bridson and Haefliger,Metric Spaces of Non-Positive Curvature嘅版本(第140頁,命題8.19)[5]。
假設羣對常態長度空間(proper length space)有一個羣作用,而且呢個作用係properly discontinuous同埋餘緊緻(cocompact),咁個羣就係有限生成(finitely generated),而且對任何一個生成集以及任何一點,軌道映射
都係一個擬等距同構。呢度係上邊對應著生成集嘅字度量。
有啲書入邊呢一種嘅羣作用會叫做幾何作用(geometric action)。[6]
術語嘅詳細解釋
[編輯]一個度量空間若果每個閉集都係緊緻嘅話,就話係常態(proper)。
一個對嘅作用若果每一個緊緻集,都係有限集嘅話,就話佢係properly discontinuous。
一個對嘅作用若果個商空間帶著商拓樸係緊緻嘅話,就話個作用係餘緊緻。配埋Švarc-Milnor 引理嘅其他假設嘅話,餘緊緻等價於存在一個閉波令到。
例子
[編輯]下邊例子1-5睇de la Harpe嘅書第89-90頁[3],例子6就睇Richard Schwartz篇文[7]。
- 對任何,呢個羣擬等距同構於歐幾里得空間
- 如果係一個負歐拉特徵數嘅閉連通定向曲面嘅話,佢嘅基礎羣同雙曲空間擬等距同構。
- 如果係一個閉連通光滑流形,佢嘅基礎羣同擬等距同構,呢度係嘅萬有覆疊空間,係拉返上去,就係由黎量度量誘導嘅路徑度量。
- 如果係一個連通有限維李羣,帶著一個左不變黎曼度量同對應路徑度量,而係一個一致晶格嘅話,同就係擬等距同構。
- 如果係一個閉雙曲3-流形,咁就同擬等距同構。
- 如果係一個完備有限體積有尖嘅雙曲3-流形,咁就同擬等距同構,呢度係一柞-不變嘅極限球面(horoball),就帶著誘導嘅路徑度量。
參考
[編輯]- ↑ A. S. Švarc, A volume invariant of coverings (俄文), Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 105, 1955, pp. 32–34.
- ↑ J. Milnor, A note on curvature and fundamental group, Journal of Differential Geometry, vol. 2, 1968, pp. 1–7
- ↑ 3.0 3.1 Pierre de la Harpe, Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6; p. 87
- ↑ Benson Farb, and Dan Margalit, A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9; p. 224
- ↑ M. R. Bridson and A. Haefliger, Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9
- ↑ I. Kapovich, and N. Benakli, Boundaries of hyperbolic groups. Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), pp. 39–93, Contemp. Math., 296, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002, ISBN 0-8218-2822-3; Convention 2.22 on p. 46
- ↑ Richard Schwartz, The quasi-isometry classification of rank one lattices, Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, vol. 82, 1995, pp. 133–168