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Švarc-Milnor 引理

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幾何羣論入邊,Švarc-Milnor 引理英文Švarc-Milnor lemma,又叫Milnor-Švarc lemma,Švarc 又可以串做Schwarz)指出如果一個對一個空間有一個「好」嘅作用嘅話,就係擬等距同構(quasi-isometric)。下邊會畀返個詳細定義,乜嘢叫「好」嘅作用。

呢一個定理喺有擬等距同構呢個概念定義之前,已經喺Schwarz (1955)[1]Milnor (1968)[2]入邊出現。Pierre de la Harpe話呢個Švarc-Milnor 引理係「幾何羣論入邊最基礎嘅觀察」[3],即係對成個課題好重要咁解。依家嚟講甚至有人引述呢個定理嗰陣直程叫佢做「fundamental observation in geometric group theory」,唔叫Švarc-Milnor 引理,例如可以睇Farb and Margalit,A primer on mapping class groups,定理8.2[4]

完整論述

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喺唔同嘅書入邊呢個定理會有少少唔同,以下呢個係Bridson and Haefliger,Metric Spaces of Non-Positive Curvature嘅版本(第140頁,命題8.19)[5]

假設羣常態長度空間(proper length space)有一個羣作用,而且呢個作用係properly discontinuous同埋餘緊緻(cocompact),咁個羣就係有限生成(finitely generated),而且對任何一個生成集以及任何一點,軌道映射

都係一個擬等距同構。呢度上邊對應著生成集字度量

有啲書入邊呢一種嘅羣作用會叫做幾何作用(geometric action)。[6]

術語嘅詳細解釋

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一個度量空間若果每個閉集都係緊緻嘅話,就話係常態(proper)。

一個嘅作用若果每一個緊緻集都係有限集嘅話,就話佢係properly discontinuous。

一個嘅作用若果個商空間帶著商拓樸係緊緻嘅話,就話個作用係餘緊緻。配埋Švarc-Milnor 引理嘅其他假設嘅話,餘緊緻等價於存在一個閉波令到

例子

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下邊例子1-5睇de la Harpe嘅書第89-90頁[3],例子6就睇Richard Schwartz篇文[7]

  1. 對任何呢個羣擬等距同構於歐幾里得空間
  2. 如果係一個負歐拉特徵數嘅閉連通定向曲面嘅話,佢嘅基礎羣同雙曲空間擬等距同構。
  3. 如果係一個閉連通光滑流形,佢嘅基礎羣擬等距同構,呢度萬有覆疊空間拉返上去就係由黎量度量誘導嘅路徑度量。
  4. 如果係一個連通有限維李羣,帶著一個左不變黎曼度量同對應路徑度量,而係一個一致晶格嘅話,就係擬等距同構。
  5. 如果係一個閉雙曲3-流形,咁就同擬等距同構。
  6. 如果係一個完備有限體積有尖嘅雙曲3-流形,咁就同擬等距同構,呢度係一柞-不變嘅極限球面(horoball),就帶著誘導嘅路徑度量。

參考

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  1. A. S. Švarc, A volume invariant of coverings (俄文), Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 105, 1955, pp. 32–34.
  2. J. Milnor, A note on curvature and fundamental group, Journal of Differential Geometry, vol. 2, 1968, pp. 1–7
  3. 3.0 3.1 Pierre de la Harpe, Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6; p. 87
  4. Benson Farb, and Dan Margalit, A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9; p. 224
  5. M. R. Bridson and A. Haefliger, Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9
  6. I. Kapovich, and N. Benakli, Boundaries of hyperbolic groups. Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), pp. 39–93, Contemp. Math., 296, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002, ISBN 0-8218-2822-3; Convention 2.22 on p. 46
  7. Richard Schwartz, The quasi-isometry classification of rank one lattices, Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, vol. 82, 1995, pp. 133–168