Γ函數

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Γ 函數,亦都叫做伽瑪函數 (Gamma函数) ,佢喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。

定義[編輯]

Γ 函數嘅定義係:

呢個積分喺實數 時係絕對收斂,也都可以考慮 複數嘅情形,呢個時候要求

無窮乘積[編輯]

Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示:

其中 就係歐拉常數

Gamma積分[編輯]

遞歸公式[編輯]

Γ 函數嘅遞歸公式係:

對於正整數 n,有

可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。

推導遞歸公式[編輯]

分部積分法嚟計呢個積分:

當 x = 0 時,。當 x 趨於無窮大時,根據洛必達法則,有:

.

因此第一項變咗零,所以:

等式嘅右面啱啱就係n。所以遞歸公式係:

重要性質[編輯]

Γ 函數喺實軸上嘅函數圖形
  • 時,
  • 歐拉反射公式:
由上面條式可以知道當 z = 1/2 時,
  • 乘法定理:
  • 補充:
呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。

特殊值[編輯]

斯特靈公式[編輯]

斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度。

解析延拓[編輯]

Γ 函數嘅絕對值函數圖形

注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞 嚟做實部大於零嘅複數、則積分存在,而且喺右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

並注意到函數 係成個複平面上有解析延拓,我地可以喺 時設

從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅亞純函數,佢喺 有單極點,留數係

睇埋[編輯]

外部連接[編輯]

  • GAMMA 函數嘅性質 [1]