九因歌

《孫子算經》入面嘅九因歌

九因歌，亦叫乘數表或者乘法口訣，係十進制乘數表，可以幫手計簡單乘、除同開方。佢係中國發明，現時文獻所示，春秋戰國用到依家，歷代只係字句同次序稍有唔同。完整嘅九因歌有乘式八十一項，唔計重覆嘅，就有四十五項。

西方文明古國嘅古希臘同埋古巴比倫都發明過乘數表，不過就複雜過九因歌好多。希臘乘法表有1,700百幾樣，而且唔夠全面。由於響13世紀之前佢哋計算乘法、除法好困難，所以可以除一個大數嘅人會被人視為數學家。歐洲直到13世紀初都唔知道呢種簡單嘅乘數表。13世紀初，東方嘅計算方法通過阿拉伯人傳入歐洲，歐洲人就學習呢個新方法。當時，用新法乘兩個數呢類題目，係大學嘅教材。

九因歌後嚟東傳入高麗、日本，經絲綢之路西傳印度、波斯。

記載

「九因歌」早喺漢代數學家劉徽《九章算術注》提過「九九」起源於中華神話人物伏羲之時。

粵讀法

乘數帶「一」之簡單口訣可用「得」或「如」，如「一三得三」、「七一如七」；其他相乘結果爲個位數之簡單口訣多數用「如」。好似「三二如六」、「四二如八」；相乘結果係整數「十」嘅口訣，多數用「終/中」，如「五六終三十」，「五八終四十」；「三」「三」相乘比較特別，用「歸」或「該」。廣東話讀乘數口訣靈活多變之餘，不乏古風，「得」、「如」、「終/中」、「歸」、「該」五字，盡顯古文之雅。

同當時其他國家嘅比較

古希臘、古埃及、古印度、古羅馬無進位制，原則上要有無限大嘅乘數表，所以無可能有九因歌。例如希臘乘法表要列出7×8，70×8，700×8，700×8，7000×8……。相比之下，因為九九表係基於十進位制，7×8=56，70×8=560，700×8=5600，7000×8=56000，只需要7×8=56一個代表。

古巴比倫算術雖然早過希臘，但係都好過希臘嘅算術，因為巴比倫算術有位值制。不過巴比倫算術用60進位制，原則上一個「59×59乘數表」要1770項；由於「59×59乘法表」太大，巴比倫人唔用類似九因歌嘅乘數表。不過，考古學家發現巴比倫人用1×1=1、2×2=4、3×3=9……7×7=49、……9×9=81 ……16×16=256 …… 59×59=3481 嘅「平方表」。

古埃及無乘數表。考古家發現，古埃及人係通過累次加法嚟計乘數。例如計5×13，先將13+13得26，再加26+26=52，然之後再加13得65。古瑪雅人用20進位制，同依家世界通用嘅十進位制最接近。一個19×19乘法表有190項，多過九九表嘅45項三倍幾，但係就簡便過巴比倫嘅方法好多，但係考古學家到依家都未發現瑪雅乘數表。

內容

一	二	三	四	五	六	七	八	九
一一如一	二一如二	三一如三	四一如四	五一如五	六一如六	七一如七	八一如八	九一如九
一二如二	二二如四	三二如六	四二如八	五二得一十	六二一十二	七二一十四	八二一十六	九二一十八
一三如三	二三如六	三三歸九	四三一十二	五三一十五	六三一十八	七三二十一	八三二十四	九三二十七
一四如四	二四如八	三四一十二	四四一十六	五四中二十	六四二十四	七四二十八	八四三十二	九四三十六
一五如五	二五得一十	三五一十五	四五中二十	五五二十五	六五中三十	七五三十五	八五中四十	九五四十五
一六如六	二六一十二	三六一十八	四六二十四	五六中三十	六六三十六	七六四十二	八六四十八	九六五十四
一七如七	二七一十四	三七二十一	四七二十八	五七三十五	六七四十二	七七四十九	八七五十六	九七六十三
一八如八	二八一十六	三八二十四	四八三十二	五八中四十	六八四十八	七八五十六	八八六十四	九八七十二
一九如九	二九一十八	三九二十七	四九三十六	五九四十五	六九五十四	七九六十三	八九七十二	九九八十一