吉布士熵

統計力學入面，吉布士熵（英文：Gibbs entropy）係平衡態下體系熵嘅一條通用表達式。如果體系有$n$個能級，佔第$i$個能級嘅機率係$p_{i}$，噉體系嘅熵就係

$S=-k_{\text{B}}\,\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln \,p_{i},$

其中$k_{\text{B}}$係波茲曼常數，爾條式叫做吉布士熵公式。

導引

可以用系綜嘅方法來推出吉布士熵公式。

考慮由$N$個同我哋考察嘅體系相同嘅體系組成嘅系綜。達到平衡態嗰時，最有可能出現嘅情況係，有$N_{i}=p_{i}N$個體系處於第$i$個能級。 爾種情況出現嘅可能性遠遠大過其它可能性，根據摘取最大項原理，喺波茲曼熵公式$S=k_{\text{B}}\ln W$入面計算$W$嘅時候可以衹考慮爾一項嘅貢獻，根據組合數學，有：

$W\approx {\frac {N!}{\prod _{i=1}^{n}N_{i}!}}.$

用斯特靈公式

$\ln(n!)=n\ln(n)-n+O(\ln n),$

有：

$\ln W=N\ln N-\sum _{i=1}^{n}N_{i}\ln N_{i}+O(\ln N)=O(\ln N)+\sum _{i=1}^{n}N_{i}(\ln N-\ln N_{i})=O(\ln N)-N\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln p_{i},$

於是成個系綜嘅熵就係：

$S_{N}=k_{\text{B}}\ln W=k_{\text{B}}\left[O(\ln N)-N\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln p_{i}\right],$

因為熵係廣延量，而且組成系綜嘅各個體系相同，所以單個體系嘅熵就係：

$S={\frac {k_{\text{B}}}{N}}\left[O(\ln N)-N\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln p_{i}\right]=-k_{\text{B}}\,\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln \,p_{i}.$

爾個就係吉布士熵公式。