單擴張

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場論入面,單擴張場擴張嘅一種,係指喺一個場上面淨係加一粒元素上去嘅擴張,單擴張已經被數學家研究得好透徹,亦都可以完全被分類。

原初元素定理提供咗一個有限單擴張嘅判別方法。

定義[編輯]

畀一個場擴張 L/K,如果存在一個元素,符合

咁呢個擴張就叫做單擴張就叫做一個原初元素,或者生成元素;我哋亦都會話 L 係喺 K之上用生成出來嘅。

每一個有限場都係佢對應嘅素場嘅單擴張,詳細啲嚟講,如果 p 係一個質數,咁有限場就係素場嘅單擴張,亦即係話,係由一個元素生成,係一個d次方唔約得多項式,但係喺呢個情況,我哋唔會喊做一個原初元素,即使佢符合前一段原初元素嘅定義都好。

原因係喺有限場嘅語言入面,原初元素有另一個意思,係指個有限場嘅乘法羣生成元素,根據費馬小定理入面嘅非零元素(即係個乘法羣)係等式

嘅根,即係啲(q-1)-單位根。所以,係有限場入面,原初元素係指原初(q-1)單位根,即係乘法羣嘅生成元素。乘法羣嘅原初元素自動係場嘅原初元素,但係調反轉就唔係。

所以係廣義嘅定義入面,我哋要求場入面嘅所有元素都可以寫做原初元素嘅多項式,而喺有限場入面,所有非零元素唔單止係原初元素嘅多項式,直情係原初元素嘅次方。係有限場入面,如果我哋想區分呢兩個概念,會分別講場原初元素同埋羣原初元素[1]

單擴張嘅結構[編輯]

如果L係K之上用生成嘅單擴張,咁L就係裝住K同嘅最細嘅場,咁即係話,L入面任何元素都可以用K入面嘅元素同埋用有限次嘅加減乘除整出嚟。

考慮多項式環K[X],佢嘅一個萬有性質係存在唯一一個環同態

有兩個可能嘅情況會發生。

如果單射嘅話,咁佢就可以延伸去K[X}嘅分數場K(X),由於L係由生成嘅,所以係由K(X)去L嘅同構。咁即係話,L入面每一個元素都係一個唔約得嘅分數,分子分母都係嘅多項式,而且兩個咁樣嘅分數係代表緊同一個L嘅元素若且唯若佢哋其中一個係另一個喺K之上嘅約分。

如果唔係單射嘅話,設p(X)係佢嘅嘅一個生成元素,亦即係最細多項式映像係L嘅一個子環,所以係一個,咁即係代表p係一個唔約得多項式,啫係個商環 係一個場。由於L係由生成,係一個滿射,同埋誘導咗一個由去L嘅同構。咁即係話L入面每一個元素都係嘅多項式,而且個次方低過p嘅次方,譯即係個擴張嘅次方。

例子[編輯]

  • (用 i 生成)
  • (用生成),一般嚟講,任何數場嘅有限擴張)都係一個單擴張 ,例如,
  • F(X)/F(用X生成)

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  1. Roman 1995

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  • Roman, Steven (1995). Field Theory. Graduate Texts in Mathematics. 158. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94408-7. Zbl 0816.12001.