單擴張

場論入面，單擴張係場擴張嘅一種，係指喺一個場上面淨係加一粒元素上去嘅擴張，單擴張已經被數學家研究得好透徹，亦都可以完全被分類。

原初元素定理提供咗一個有限單擴張嘅判別方法。

定義

畀一個場擴張 L/K，如果存在一個元素$\theta \in L$，符合

$L=K(\theta ).$

咁呢個擴張就叫做單擴張，$\theta$就叫做一個原初元素，或者生成元素；我哋亦都會話 L 係喺 K之上用$\theta$生成出來嘅。

每一個有限場都係佢對應嘅素場嘅單擴張，詳細啲嚟講，如果 p 係一個質數，$q=p^{d}$，咁有限場$\mathbb {F} _{q}$就係素場$\mathbb {F} _{p}$嘅單擴張，亦即係話，$\mathbb {F} _{q}$係由一個元素$\theta$生成，$\theta$係一個d次方唔約得多項式嘅根，但係喺呢個情況，我哋唔會喊$\theta$做一個原初元素，即使佢符合前一段原初元素嘅定義都好。

原因係喺有限場嘅語言入面，原初元素有另一個意思，係指個有限場嘅乘法羣嘅生成元素，根據費馬小定理，$\mathbb {F} _{q}$入面嘅非零元素（即係個乘法羣）係等式

$x^{q-1}-1=0,$

嘅根，即係啲(q-1)-單位根。所以，係有限場入面，原初元素係指原初(q-1)單位根，即係乘法羣嘅生成元素。乘法羣嘅原初元素自動係場嘅原初元素，但係調反轉就唔係。

所以係廣義嘅定義入面，我哋要求場入面嘅所有元素都可以寫做原初元素嘅多項式，而喺有限場入面，所有非零元素唔單止係原初元素嘅多項式，直情係原初元素嘅次方。係有限場入面，如果我哋想區分呢兩個概念，會分別講場原初元素同埋羣原初元素。

單擴張嘅結構

如果L係K之上用$\theta$生成嘅單擴張，咁L就係裝住K同$\theta$嘅最細嘅場，咁即係話，L入面任何元素都可以用K入面嘅元素同埋$\theta$用有限次嘅加減乘除整出嚟。

考慮多項式環K[X]，佢嘅一個萬有性質係存在唯一一個環同態

${\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\p(X)&\mapsto p(\theta )\,.\end{aligned}}$

有兩個可能嘅情況會發生。

如果$\varphi$係單射嘅話，咁佢就可以延伸去K[X}嘅分數場K(X)，由於L係由$\theta$生成嘅，所以$\varphi$係由K(X)去L嘅同構。咁即係話，L入面每一個元素都係一個唔約得嘅分數，分子分母都係$\theta$嘅多項式，而且兩個咁樣嘅分數係代表緊同一個L嘅元素若且唯若佢哋其中一個係另一個喺K之上嘅約分。

如果$\varphi$唔係單射嘅話，設p(X)係佢嘅核嘅一個生成元素，亦即係$\theta$嘅最細多項式。$\varphi$嘅映像係L嘅一個子環，所以係一個域，咁即係代表p係一個唔約得多項式，啫係個商環$K[X]/\langle p\rangle$ 係一個場。由於L係由$\theta$生成，$\varphi$係一個滿射，同埋$\varphi$誘導咗一個由$K[X]/\langle p\rangle$去L嘅同構。咁即係話L入面每一個元素都係$\theta$嘅多項式，而且個次方低過p嘅次方，譯即係個擴張嘅次方。

例子

• $\mathbb {C} /\mathbb {R}$（用 i 生成）
• $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$（用${\sqrt {2}}$生成），一般嚟講，任何數場（$\mathbb {Q}$嘅有限擴張）都係一個單擴張 $\mathbb {Q} (\alpha )$，例如，$\mathbb {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}})$
• $F(X)/F$（用X生成）

書

• Roman, Steven (1995). Field Theory. Graduate Texts in Mathematics.第158卷. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94408-7. Zbl 0816.12001.