楊氏不等式

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數學上,楊氏不等式,指出:假設abpq 係正實數,且有1/p + 1/q = 1,咁樣:

等號成立當且僅當 ,因為呢個時候

楊氏不等式係加權算術-幾何平均值不等式嘅特例,楊氏不等式係証明赫爾德不等式嘅一個快捷方法。

證明[編輯]

我哋知道函數係一個凸函數,因為佢嘅二階導數恒為正。從而我哋有:

呢度我哋用咗凸函數嘅一個性質:對任意 t,如果 0 < t < 1,就有:

推廣[編輯]

係一個連續、嚴格遞增函數而且 。下面嘅不等式成立:

觀察嘅圖形,好容易睇出呢個不等式嘅一個直觀証明:以上兩個積分式所表示嘅區域之和比由組成嘅矩形嘅面積大。