羅斯定理

羅斯定理（粵拼：lo4 si1 ding6 lei5）係個幾何學定理，呢個定理係講喺一個大三角形內部作嘅細三角形佔大三角形嘅面積比。

呢條定理係由羅斯喺1896年寫嘅書《Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples》嘅第82頁提出嘅。

定理

而家有個三角形 $\triangle ABC\,$，喺邊 $BC$、$CA$、$AB$ 度各取一點 $D$、$E$、$F$，然後將呢啲點同佢哋對面嘅定點連條綫，噉樣三條連綫就會喺 $\triangle ABC\,$ 內圍出個三角形 $\triangle PQR\,$。假定${\tfrac {CD}{BD}}=x$、${\tfrac {AE}{CE}}=y$、${\tfrac {BF}{AF}}=z$，噉樣 $\triangle PQR\,$ 佔三角形 $\triangle ABC\,$ 嘅比例就用下面條式來表示：

${\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}.$

擧個例，當 $x=y=z=2$ 時，就會作出一個佔大三角形面積七分一嘅細三角形。而當 $xyz=1$ 時，細三角形嘅面積爲 $0$，呢時三條連綫交於同一點，亦即塞瓦定理。

證明

假定 $\triangle ABC\,$ 面積爲 $1$。接住對 $\triangle ABD\,$ 同直綫 $FRC$ 用孟氏定理，得：

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1$

於是得：

${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}{\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$

於是 $\triangle ABC\,$ 嘅面積係：

$S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}{\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}$

同理可得：$S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ 同埋 $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}$ 所以 $\triangle PQR\,$ 嘅面積可用下面呢條式求得：

$\displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}$

$=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}$

$={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.$

參攷

• Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
• H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
• J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
• Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Routh's Theorem" - MathWorld.（英文）
• Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.