羅斯定理

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Rouths theorem 1.png

羅斯定理粵拼lo4 si1 ding6 lei5)係個幾何學定理,呢個定理係講喺一個大三角形內部作嘅細三角形佔大三角形嘅面積比。

呢條定理係由羅斯喺1896年寫嘅書《Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples》嘅第82頁提出嘅。

定理[編輯]

Rouths theorem.png

而家有個三角形ABC,喺邊BC、CA、AB度各取一點D、E、F,然後將呢啲點同佢哋對面嘅定點連條綫,噉樣三條連綫就會喺三角形ABC內圍出個三角形PQR。假定,噉樣三角形PQR佔三角形ABC嘅比例就用下面條式來表示:

擧個例,當x = y = z = 2時,就會作出一個佔大三角形面積七分一嘅細三角形。而當xyz = 1時,細三角形嘅面積爲0,呢時三條連綫交於同一點,亦即塞瓦定理

證明[編輯]

假定三角形ABC面積爲1。接住對三角形ABD同直綫FRC用孟氏定理,得:

於是得:

於是三角形ABC嘅面積係:

同理可得: 同埋 所以三角形PQR可用下面呢條式求得:

參攷[編輯]

  • Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
  • H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
  • J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
  • Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
  • Weisstein, Eric W., "Routh's Theorem" - MathWorld.(英文)
  • Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
  • Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.