鏈複形

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數學入邊,鏈複形係一種代數結構,由一列嘅阿貝爾羣(或者)構成,而且連續兩個羣之間都有一個同態,一個同態嘅映像喺下一個同態嘅入邊。畀一條鏈複形,可以計佢嘅同調,同調係用嚟度佢啲映像同下一個核之間差幾多。如果同調係零,即係每一個映像都啱啱好等於下一個同態嘅核,呢種鏈複形就叫正合序列

上鏈複形同鏈複形好似,差別係佢嘅同態方向係掉轉嘅,對應嘅同調會叫做上同調

代數拓樸入邊,對一個拓樸空間可以定義奇異鏈複形,係由啲「由單純形打去連續函數」組成,個鏈複形入邊嘅同態就係睇呢啲函數限制落去啲單純形嘅邊界嗰陣係點。對應嘅同調叫做奇異同調,可以作為一個拓樸空間嘅不變量

同調代數呢門學科會研究鏈複形,不過鏈複形可以用落好多唔同嘅學科到,抽像代數伽華理論微分幾何代數幾何都用得到佢。

定義[編輯]

一個鏈複形就係一列嘅阿貝爾羣(或者模)..., A0, A1, A2, A3, A4, ...,連續兩個之間有一個同態連接著,呢個同態通常叫邊界算子或者微分dn : AnAn−1,而且佢哋連續兩個複合埋一齊係零映射,寫出嚟就係dndn+1 = 0,或者唔要個標記嘅話,就寫做d2 = 0。成條鏈複形亦都可以咁樣寫出嚟:

上鏈複形係鏈複形嘅對偶概念,係一列嘅阿貝爾羣(或者模)..., A0, A1, A2, A3, A4, ...,連續兩個之間有一個同態dn : AnAn+1連接著,符合dn+1dn = 0。呢個同態通常叫上邊界算子或者上微分,同樣可以好似鏈複形咁寫出嚟:

An或者An入邊個標號n一般叫做或者維度。鏈複形同上鏈複形嘅分別在於,鏈複形入邊微分係會降低個維度,而上鏈複形入邊係會增加維度。所有可以喺鏈複形上邊定義嘅嘢都可以定義落去上鏈複形度,唯一係要調整返呢個增加/降低維度,同埋會加一個「上」(co-)字。喺呢篇文入邊,定義會落喺鏈複形度。

有界鏈複形係指嗰啲得中間有限個唔係零,其他左邊同右邊嘅都全部係零嗰啲鏈複形。例子有有限單純複形奇異同調對應嘅鏈複形。一條鏈複形如果超過咗某個維度N就全部係零嘅話,就叫做有上界,低過某個維度就係零嘅話就叫有下界。明顯一個鏈複形係有界若且唯若佢同時有上界同下界。

正合序列[編輯]

內文:正合序列

鏈映射[編輯]

鏈同倫[編輯]

參考資料[編輯]

書目[編輯]

  • Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3
  • Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.