模 (代數)

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英文module)係抽象代數入面其中一個基本嘅代數結構。佢同向量空間好似,唯一嘅唔同就係純量可以係一個固定嘅入面嘅元素,唔一定係一個。如果個模嘅純量係嚟自環 嘅話,呢種模會叫做模(-module)。由於佢同向量空間好相似,好多向量空間入面嘅概念都會喺模入面出現返,例如線性相關線性組合同構定理等等。所以模嘅理論喺可以參考向量空間嘅理論之餘,可以用嚟描述更一般更廣泛嘅現象。

模同羣表示論好有關係,亦都係交換代數同調代數代數幾何同埋代數拓撲嘅研究對象。

引入同定義[編輯]

研究動機[編輯]

向量空間入面,純量係喺一個入面,同埋定義咗一個「純量乘向量」嘅乘法,呢個乘法符合結合律分配律等等一拃性質。喺模入面,放寬咗純量嘅限制,佢只要係一個就得,呢一點係一個好大步嘅推廣。喺交換代數入面,研究一個環一定要睇佢嘅模。舉個例,畀一個環,佢嘅理想 商環 都係-模,即係話用模嘅語言可以一次過講嗮同理想同埋商環有關嘅定理。

如果底下個純量環有啲好嘅性質(例如主理想域principal ideal domain),好多向量空間嘅性質都可以推廣到呢啲「好環」嘅模上面。但係亦都有啲性質喺推唔到嘅,例如每一個向量空間都有,並且基嘅基數係固定嘅[NB 1],但係模就唔一定有基,就算有,同一個模嘅唔同嘅基都可以有唔同嘅基數[NB 2]

定義[編輯]

假設係一個環而且係佢嘅乘法單位,一個左-模就係一個交換羣配一個二元運算(叫純量乘法),對所有,都符合:

好多時喺寫算式嗰陣,呢粒點會直接唔寫,例如會用嚟代表。如果想強調係一個左-模嘅話,可以寫。同樣道理,就係表示佢係一個右-模,有一個二元運算,符合一拃好類似嘅公式。

一個-雙模,可以寫做,就係話佢同時係一個左-模同右-模,而且符合額外一條「結合律」嘅式,當中rR入面,mM入面,sS 入面。

如果係交換環嘅話,左-模同右-模係一樣嘅,所以可以直接叫-模,唔講左右。如果 唔交換嘅話,左-模其實係同右-模一樣,呢到相反環

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  1. 呢兩點嘅證明需要用到選擇公理(axiom of choice),不過對於有限維空間,或者一啲「好」嘅無限維空間,例如空間就唔使。
  2. 所有基嘅基數都一樣呢個性質又叫做IBN(invariant basis number)

參考[編輯]