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相反環

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代數學裡面,一個環嘅相反環係另一個環,佢有同樣嘅元素同埋加法,但係個乘法係調轉次序嚟做嘅。講清楚啲,一個環嘅相反環就係,個乘法嘅定義係[1][2]嘅相反環通常會寫做,其中「op」係「opposite」嘅意思。相反環可以用嚟講雙模(bimodule),並且好容易將嘅性質推廣去雙模,因為一個R-S-雙模正正就係一個模。相反環亦都可以用嚟講清楚「左模」(left module)同「右模」(right module)嘅定義。

么半羣代數都可以睇做某種單物件範疇,而相反範疇就推廣咗相反羣、相反環等等嘅概念。

例子

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兩個生成元嘅自由代數

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上面嘅雙生成元自由代數上面嘅乘法係用字串連接嚟定義嘅,例如:

噉佢嘅相反代數嘅乘法就係噉樣: 兩者係有唔同嘅。

四元數代數

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上面嘅四元數代數(quaternion algebra)[3]係一個除代數,有三個生成元同埋三個關係

, , 同

所有入面嘅元素都可以寫做

如果用 嚟表示入面嘅乘法嘅話,個乘數表就係

噉佢嘅相反代數嘅乘數表就係

交換環

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一個交換環係同佢嘅相反環同構嘅,因為對任何兩個元素,都有

性質

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  • 兩個環同構若且唯若佢哋分別嘅相反環同構。
  • 一個環嘅相反環嘅相反環係返佢自己。
  • 一個環同佢嘅相反環係反同構嘅。
  • 一個環係交換環若且唯若佢嘅乘法同反乘法係一樣嘅[2]
  • 一個環嘅左理想正正就係相反環嘅右理想[4]
  • 除環嘅相反環都係除環[5]
  • 一個環上面嘅左模就係相反環上面嘅右模,反之亦然[6]

參考

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  1. Berrick 2000, p. 19.
  2. 跳到去: 2.0 2.1 Bourbaki 1989, p. 101.
  3. Milne. Class Field Theory. p. 120.
  4. Bourbaki 1989, p. 103.
  5. Bourbaki 1989, p. 114.
  6. Bourbaki 1989, p. 192.

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睇埋

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